- •Содержание
- •1Основные понятия теории вероятностей (тв).
- •1.1Предмет тв
- •1.2Виды случайных событий
- •1.3Вероятность
- •1.4Относительная частота
- •1.5Теоремы сложения вероятностей
- •1.6Теорема умножения вероятностей
- •1.7Теорема о полных вероятностях
- •1.8Теорема о повторении опытов
- •1.9Метод производящих функций
- •2Случайные величины и их распределения
- •2.1Понятие случайных величин (св)
- •2.2Дискретная св. Закон распределения вероятностей.
- •2.3Св непрерывного типа. Плотность распределения вероятностей.
- •2.4Функция распределения вероятностей.
- •3 Числовые характеристики распределения случайных величин
- •3.1Математическое ожидание (мо) св
- •3.1.1Мо дискретной св
- •3.1.2Мо непрерывной св
- •3.1.3Свойства мо
- •3.1.4Мода и медиана св
- •3.2Дисперсия св. Понятие среднего квадратического отклонения (ско).
- •3.2.1Определение дисперсии
- •3.2.2Свойства дисперсии
- •4.1.2Геометрическое распределение
- •4.2Типовые распределения непрерывных св
- •4.2.1Равновероятный (равномерный) закон распределения.
- •4.2.2Показательный закон распределение.
- •4.2.3Нормальный закон распределения
- •4.2.3.1Связь с биномиальным законом распределения. Локальная теорема Лапласа (Муавра-Лапласа)
- •4.2.3.2Интегральная теорема Лапласа.
- •4.2.3.3Необходимое и достаточное условие нормального закона распределения (нзр)
2Случайные величины и их распределения
2.1Понятие случайных величин (св)
Ограниченность введенных в лекции 1 понятий случайных событий, вероятности и действий над ними лишь простейшими схемами отображения реальных ситуаций очевидна. Поэтому аппарат “Событий” в современной ТВ не является основным. Он лишь создает необходимую теоретическую базу для перехода к более обобщенному, более основному понятию ТВ – понятию СВ, способам их описания и манипулирования с ними, которое боле адекватно отображает реальные процессы массовых случайных явлений и их проявляемые закономерности.
В чем заключена ограниченность:
событие, как результат опыта может появляться или не появляться, то есть характеристика качественная(!), в то время, как результаты реальных событий чаще всего могут характеризоваться совокупностью значений, выраженных числом из некоторой последовательности, интервала, совокупности…
Вероятность рассматривается лишь для случаев, т.е. равновозможных событий из состава полной группы. А это не всегда так!
Простейшая ‘Уровневая схема’ вычисления вер., далека от реальности.
Исторически понятием СВ начали пользоваться еще в 18 веке, но никто не пытался дать ему определения. Лишь к середине 19 в. этот термин появился, причем не был строго определен. На интуитивном уровне он просуществовал во всех учебниках до 20-х годов 20 в. И лишь в 30-х годах сформировалось четкое теоретико-множественное определение данное Колмогоровым. Мы дадим нестрогое определение случайным величинам, а затем конкретизируем их для СВ прерывного и непрерывного типа.
Случайной величиной называют такую величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем какое именно – заранее указать нельзя.
СВ могут быть одномерными и многомерными:
Одномерная СВ ( скалярная ) – результатом опыта является одно число
Многомерная СВ ( векторная ) – результатом опыта является целый набор значений различных характеристик
СВ также подразделяются на дискретные и непрерывные:
Дискретная СВ (СВ прерывного, дискретного типа) – такая СВ, которая в результате опыта может принимать счетное (конечное или бесконечное) количество различных значений (заранее можно указать все значения или их пронумеровать).
Непрерывная СВ (СВ непрерывного типа) – такая СВ, которая в результате опыта может принимать любое значение из данного интервала (таких значений бесконечное множество)
2.2Дискретная св. Закон распределения вероятностей.
Давайте сделаем еще один шаг к более строгому пониманию СВ.
Определение: Величина Х называется дискретной СВ, если множество ее возможных (различных) значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2,…, xi,… и если каждое событие Х = xi является случайным событием, т.е. имеет определенную вероятность Pi. (события Х = xi будем называть элементарными событиями ).
Т.е. для задания дискретной СВ необходимо задать все возможные элементарные события (значения) и их вероятности (они могут быть различны!) – или иными словами определить закон распределения.
Законом распределения СВ Х называют любое правило, позволяющее находить соответствие между возможными значениями xi и их вероятностями.
Р(Х=xi) = Pi , для любого i=1, 2, …
Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы), графически.
А) Табличный способ задания ЗР СВ
-
i
xi
Pi
Б) Графический способ
В) Аналитический способ
Примеры типовых распределений дискретных величин:
Биномиальный закон распределения
Биномиальным называют закон распределения дискретной СВ X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (а не появления соответственно q).
m – число раз появления события
Закон распределения Пуассона
Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу:
,
и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона