1.7Теорема о полных вероятностях

Теорема:

Если интересующее нас событие А может появиться совместно с одним из событий (гипотез) B₁, B₂, …, B_n, образующих полную группу (единственно возможные и несовместные) и если для нас безразлично с каким из этих событий оно появится, то вероятность события А, равна сумме произведений вероятностей гипотез на вероятности появления события А, вычисленных в предположении, что соответствующая гипотеза имеет место:

В случае, если гипотезы равновозможны, то

и

Доказательство:

Действительно,

Иногда возникает задача уточнения вероятностей гипотез Bi по результатам испытания, в котором событие А появилось!, т.е. нас интересует P_A(B₁), P_A(B₂), …, P_A(B_n).

- Формула Байеса

1.8Теорема о повторении опытов

Теорема:

Если в каждом опыте может появиться или не появиться событие А и если произведено n независимых опытов в неизменных условиях, то вероятность что событие А появится ровно m-раз равна:

- Формула Бернулли

, где

p – вероятность появления события А в опыте

q = 1 – p – вероятность непоявления события А в опыте

Частные случаи:

• Вероятность, что событие А появиться во всех опытах: P_n = pⁿ

• Вероятность, что событие А не появиться ни в одном из опытов: P₀ = qⁿ

Пример:

Стрельба по мишени. Производится n = 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле p = 0.8:

q = 0.2

- вероятность не попасть ни разу

- вероятность попасть 1 раз

- вероятность попасть 2 раза

- вероятность попасть 3 раза

- вероятность попасть 4 раза

- вероятность попасть 5 раз

При достаточно большом n пользоваться формулой Бернулли сложно, пожтому выполняют приближенное вычисление на основе теорему Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа:

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появиться ровно k раз в n испытаниях приближенно равна (тем точнее чем больше n) значению функции:

1.9Метод производящих функций

В более общем случае следует учитывать, что:

• Вероятность появления события А может изменяться от опыта к опыту (нарушается неизменность условий)

• Событие А в каждом i-м опыте может появляться от 0 до k_i раз, причем k_i может быть непостоянным

Тогда, в общем случае, вероятность появления события А m-раз в n-опытах определяется с помощью метода производящих функций.

Правило:

Вероятность того, что событие А в n опытах (независимых) появиться ровно m раз численно равна коэффициенту при x^m в многочлене, получаемом при преобразовании производящей функции вида:

-вероятность непоявления события A в i-м опыте

- вероятности появления события А в i-м опыте ровно 1 раз, 2 раза, …

- максимальное число раз, которое может появиться событие А в i-м опыте

Частные случаи:

1. Событие А может появиться или не появиться в опыте

А. Опыты выполняются в неизменных условиях

- Биномиальное распределение

Коэффициенты при x^m есть формулы Бернулли

Б. Изменяющиеся условия

2. Неизменные условия, событие А может появляться m раз (0<=m<=k)