2.4Функция распределения вероятностей.

Законы распределения вероятностей для дискретной и непрерывной СВ т.о., задаются различно:

• дискретные СВ => вероятностями отдельных возможных значений, P_i

• непрерывные СВ => плотностью распределения вероятностей, f(x).

Однако существует единый способ задания законов распределения вероятностей с помощью функции распределения вероятностей (ФРВ):

Функцией распределения вероятностей называют функцию F(X), определяющую вероятность того, что СВ Х в результате испытания примет значение меньшее любого наперед заданного значения х, принадлежащего области значений данной СВ.

ФРВ по физическому смыслу есть вероятность принять любое возможное значение, меньшее х для дискретной СВ или из интервала (- , х) для непрерывной СВ. и численно равна:

А) дискретные СВ: , для любого k = 1 .. n + 1

В) непрерывные СВ:

Часто ФРВ для непрер. СВ назыв. ИФР, а ФПРВ –> ДФР F’(X)=f(x)

Свойства ФРВ:

1. Значения ФРВ принадлежат отрезку [0, 1]:

2. F(X) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) >= F(x₁)

3. Если х (a, b), то F(x<=а) = 0, F(x > b) = 1

Следствие:

Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале.

Графическое представление F(x):

А) Дискретная СВ
Б) Непрерывная СВ

(!) Кривая распределения является графическим отображением закона распределения.

3 Числовые характеристики распределения случайных величин

Итак, мы рассмотрели исчерпывающую характеристику случайной величины – закон распределения вероятностей СВ. Однако на практике часто бывает достаточно знать не сам закон распределения (весьма часто мы можем лишь предполагать его вид), а только некоторые его не случайные числовые характеристики, основными из которых являются:

• Математическое ожидание или центр рассеивания, вокруг которого группируются более или менее тесно значения СВ

• Дисперсия, характеризующая степень группирования СВ относительно центра рассеивания

То есть, знание этих характеристик позволяет знать примерное расположение того более или менее узкого интервала значений СВ, в котором находится основная «масса» вероятности.

Пример:

2 завода производят проволоку, среднее значение усилия на разрыв – 100 кг. Но при этом у первого (график слева) разброс - +/-25 кг, а у второго (график справа) - +/-70 кг. Т.е. проволока первого завода лучше.

3.1Математическое ожидание (мо) св

3.1.1Мо дискретной св

МО дискретной СВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Для конечного числа значений:

Для бесконечного числа значений: -сумма бесконечного ряда

Пример 1:

xI	2	3	5
Pi	0.3	0.1	0.6

Пример 2:

В опыте событие А может появиться с вероятностью p или не появиться с вероятностью (1-p). Определить МО СВ числа появлений события А:

1. В 1 опыте

2. В n опытах

а)

XI	0	1
Pi	p	1-p

б)