![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1. Понятие игры. Классификация игр
- •§ 2. Антагонистические игры в нормальной форме
- •Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры
- •Примеры
- •. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
- •Упражнения к § 2.1. – 2.2.
- •Смешанное расширение игры
- •Методы решения матричных игр
- •Сведение игры к системе неравенств
- •Графический (графоаналитический) метод решения игры
- •3. Сведение игры к задаче линейного программирования
- •Существование оптимальных стратегий. Теорема фон Неймана-Нэша
- •Упражнения к § 2.3–2.5.
- •2.6. Доминирование стратегий
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.6.
- •2.7. Бесконечные антагонистические игры
- •Упражнения к § 2.7.
- •2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.8.
- •§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме
- •3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры
- •3.2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Равновесие в доминирующих стратегиях
- •Равновесие по Нэшу
- •Сильное равновесие по Нэшу
- •Равновесие по Парето
- •Равновесие по Штакельбергу
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Упражнения к § 3.
Примеры
Пример 1.
Используя понятие доминирования,
упростить матрицу игры, если
.
Решение
Рассмотрим первоначальную матрицу А, занумеровав стратегии игроков
Первоначально упростим матрицу игры, исключив чистые стратегии, доминируемые чистыми стратегиями.
Для игрока P1
стратегия
доминирует стратегию
так как, например,
,
и, следовательно,
.
Аналогично для остальных элементов
этих строк выполнены неравенства:
,
.
Вычеркивая доминируемую стратегию,
переходим к матрице
В матрице
для стратегий
и
второго игрока выполнены неравенства:
,
.
Следовательно,
доминирует
.
Вычеркивая первый столбец матрицы , получим
.
В матрице
нет доминирования чистых стратегий
игроков чистыми стратегиями. Найдем
(если это возможно) те стратегии, которые
доминируются смешанными стратегиями
игроков.
Рассмотрим игрока Р1.
Проверим, существует
ли смешанная стратегия игрока, доминирующая
стратегию
.
Согласно лемме 4, в качестве такой
стратегии достаточно рассмотреть
и найти такое
,
для которого выполнена система неравенств:
то есть
Из первого
неравенства системы следует, что
а так как
,
то остается полагать, что
.
Однако данное
не удовлетворяет второму неравенству
системы, а следовательно, система не
имеет решения и чистая стратегия
не доминируется никакой смешанной.
Рассматривая
аналогично чистые стратегии
и
приходим к выводу, что и они также не
домируются смешанными стратегиями.
Проверим
наличие доминируемых стратегий у второго
игрока.
Проверим, существует
ли смешанная стратегия игрока
,
доминирующая стратегию
.
Найдем такое
,
для которого выполнена система неравенств:
то есть
Решением системы
является
.
Следовательно,
доминирует
.
Вычеркивая вторую стратегию второго
игрока, переходим к матрице
.
В матрице
для первого игрока выполнены равенства:
а, следовательно, смешанная стратегия
доминирует
.
Вычеркивая
получаем матрицу
.
Решением игры
являются стратегии
,
расширяя которые на 1 и 2 местах, получим
оптимальные стратегии исходной игры:
.
Упражнения к § 2.6.
№ 1. Найти оптимальные стратегии игроков, предварительно упростив матрицу игры, используя понятие доминирования, если матрица игры имеет вид:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
№ 2. Найти оптимальные стратегии игроков: 1) непосредственно используя свойство 2 оптимальных стратегий; 2) предварительно упростив матрицу, используя понятие доминирования. Совпадут ли множества оптимальных стратегий, полученные данными способами? Если нет, то объяснить почему.
.
№ 3 (планирование
выпуска побочной продукции). В городе
имеются 2 предприятия, которые, помимо
своих основных изделий, могут выпускать
для населения побочную продукцию одного
и того же назначения, но разных типов.
Первое предприятие может выпускать
продукцию типов
,
а второе – типов
.
В городе найдет сбыт 1000 единиц товара
всех видов. Прогнозируемая доля сбыта
продукции первым предприятием задана
таблицей.
Предприятие 1 |
Предприятие 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,2 |
|
0,5 |
0,4 |
0,7 |
0,1 |
0,6 |
|
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
0,7 |
|
0,3 |
0,6 |
0,7 |
0,3 |
0,2 |
|
0,4 |
0,4 |
0,3 |
0 |
0,2 |
Требуется определить количество игрушек каждого типа, выпускаемого каждым предприятием.