2.6. Доминирование стратегий

Принципы доминирования, изложенные в данном параграфе, позволяют упростить игровую задачу посредством ее сведения к задаче меньшей размерности.

Определение 6. Чистая стратегия игрока P1 доминирует чистую стратегию (соответственно чистая стратегия игрока P2 доминирует чистую стратегию ), если для всех ( ) выполняются неравенства:

( соответственно ).

Аналогичное определение можно ввести для смешанных стратегий.

Определение 7. Смешанная стратегия игрока P1 доминирует (строго доминирует) смешанную стратегию в игре , если для всех чистых стратегий игрока P2 выполнены неравенства:

,

( ).

Определение 7 означает, что выбор первым игроком стратегии для любой чистой стратегии второго игрока j дает не меньшее математическое ожидание выигрыша P1, чем использование стратегии .

Аналогично вводится понятие доминирования для смешанных стратегий игрока P2.

Определение 8. Смешанная стратегия игрока P1 доминирует (строго доминирует ) смешанную стратегию в игре , если для всех чистых стратегий игрока P1 выполнены неравенства:

(то есть , ),

( , то есть , ).

Определение 9. Стратегия ( ) игрока P1 (P2) называется (строго) доминируемой, если существует стратегия ( ) игрока P1 (P2), которая (строго) доминирует ( ).

В противном случае стратегия называется недоминируемой (соответственно строго недоминируемой).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Если в игре стратегия игрока P1 доминирует оптимальную стратегию то также оптимальна.

Теорема 4. Если в игре стратегия одного из игроков оптимальна, то – недоминируемая строго стратегия.

Замечание 3. Обратное утверждение теоремы 4 не всегда верно. Так, например, в игре с матрицей первая и вторая чистые стратегии Р1 недоминируемые, но не являются оптимальными.

Введенные ниже определение и теорема являются основополагающим моментом решения задачи упрощения матрицы антагонистической игры.

Определение 10. Рассмотрим смешанную стратегию первого игрока и число . Вектор называется расширением стратегии x на i-ом месте.

Так, например, расширением стратегии на втором месте будет являться вектор , а расширением на четвертом месте – вектор .

Теорема 5. Пусть – антагонистическая игра. Предположим, что i-ая строка матрицы A доминируема (то есть доминируема i-ая чистая стратегия P1) и пусть – игра с матрицей , получаемой из A вычеркиванием i-ой строки.

Тогда:

1) ;

2) всякая оптимальная стратегия игрока P2 в игре является оптимальной и в игре ;

3. если – произвольная оптимальная стратегия игрока Р1 в игре и – расширение на i-ом месте, то оптимальна для Р1 в игре ;

4. если i–ая строка матрицы A строго доминируема, то произвольная оптимальная стратегия игрока Р1 в может быть получена из некоторой оптимальной стратегии в игре расширением на i-ом месте.

Для практического решения задач полезно доказать следующую лемму.

Лемма 4. Если смешанная стратегия в игре доминирует i-ую чистую стратегию игрока Р1, то существует смешанная стратегия , доминирующая i–ую чистую стратегию.

Доказательство

Предположим для определенности, что m-тая строка матрицы A доминируема стратегией . Если , то построим стратегию , доминирующую стратегию m.

Положим .

Покажем, что – смешанная стратегия.

При этом, , так как . Кроме того, . Следовательно, .

Покажем, что доминирует m-ую чистую стратегию.

Так как x доминирует m, то .

Тогда ;

;

, а так как , то , что означает доминирование стратегии .