![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1. Понятие игры. Классификация игр
- •§ 2. Антагонистические игры в нормальной форме
- •Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры
- •Примеры
- •. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
- •Упражнения к § 2.1. – 2.2.
- •Смешанное расширение игры
- •Методы решения матричных игр
- •Сведение игры к системе неравенств
- •Графический (графоаналитический) метод решения игры
- •3. Сведение игры к задаче линейного программирования
- •Существование оптимальных стратегий. Теорема фон Неймана-Нэша
- •Упражнения к § 2.3–2.5.
- •2.6. Доминирование стратегий
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.6.
- •2.7. Бесконечные антагонистические игры
- •Упражнения к § 2.7.
- •2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.8.
- •§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме
- •3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры
- •3.2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Равновесие в доминирующих стратегиях
- •Равновесие по Нэшу
- •Сильное равновесие по Нэшу
- •Равновесие по Парето
- •Равновесие по Штакельбергу
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Упражнения к § 3.
Примеры
Пример 1. Рассмотрим следующую игру. Игроки выбирают одновременно одно из трех чисел: «один», «два», «три». Выигрыш Р1 (проигрыш Р2) положителен и равен названному числу, если он правильно угадал выбор второго игрока и 0 в противном случае.
В данной задаче
,
а матрица игры имеет следующий вид:
.
Пример 2. Оборона города (игра полковника Блотто).
Полковник Блотто (игрок Р1) имеет 4 полка, а его противник (Р2) – 3 полка. Противник защищает 2 позиции. Позиция будет занята полковником Блотто, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве.
При этом, если у полковника Блотто на позиции полков больше, чем у противника, то его выигрыш на этой позиции равен числу полков противника плюс один (за захват позиции). Если у Р2 полков больше, то Р1 теряет все свои полки и 1 за позицию.
Если число полков Р1 и Р2 на позиции одинаково, то имеет место ничья и никто ничего не получает.
Считая, что суммарный выигрыш Р1 равен сумме его выигрышей по двум позициям и игра является антагонистической, сформировать матрицу игры.
Решение
Стратегией первого
игрока является пара
,
,
где
– число полков, отправленных Блотто на
позицию 1,
– на позицию 2. Тогда
.
Аналогично для второго игрока
.
Матрица игры имеет следующий вид:
.
Рассмотрим
формирование элементов матрицы на
примере
– величины выигрыша Р1 при условии, что
он предпринял стратегию (4,0), а второй
игрок стратегию (1,2). На первой позиции
полки полковника Блотто оказываются в
численном превосходстве (4>1), поэтому
он выигрывает число полков противника
(1) плюс 1 за захват позиции (всего выигрыш
по позиции равен 2). На второй позиции
наоборот, полки Р2 оказываются в
превосходстве (0<2) и тогда Блотто теряет
все свои полки на этой позиции (0) и 1 за
поражение на позиции (всего выигрыш по
позиции равен -1). Суммарный выигрыш
Блотто по двум позициям:
.
Аналогично формируются остальные
элементы матрицы.
. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
понятие и существование
Рассмотрим
антагонистическую игру
.
Каждый из игроков выбором стратегии
стремится максимизировать свой выигрыш,
который для Р1 определяется величиной
,
а для второго величиной
.
Выигрыши игроков определены на ситуациях
и поэтому в своем поведении каждый игрок
должен учитывать поведение противника.
В
теории игр предполагается, что оба
игрока ведут себя рационально,
то есть стремятся
получить максимально возможную величину
гарантированного выигрыша. Пусть игрок
1 выбрал стратегию
x.
Тогда в худшем случае он может получить
величину
.
Р1 может себе гарантировать получение,
по крайней мере, величины выигрыша
,
которая называется нижней
ценой игры или
максимином.
С другой стороны, игрок 2 может себе
гарантировать величину проигрыша не
меньшую, чем
,
называемую верхней
ценой игры или
минимаксом.
Замечание
1. Для матричной
игры
,
.
Лемма 1.
Для любой антагонистической игры
справедливо:
.
Рассмотрим
вопрос оптимального поведения игроков.
Ситуация
называется равновесной
в игре
,
если Р1 невыгодно отклоняться от
стратегии
и второму игроку от стратегии
при условии, что противник придерживается
равновесной стратегии.
Определение 3.
В антагонистической игре
ситуация
называется ситуацией равновесия или
седловой точкой, если выполнены следующие
неравенства:
,
для всех стратегий
,
.
Так
как
,
то при условии, что второй игрок выбрал
стратегию
,
игроку P1
невыгодно выбирать любую стратегию
,
так как при этом его выигрыш разве лишь
не увеличится. Аналогично, используя
правую часть неравенства (1), приходим
к выводу, что отклонение от
невыгодноP2.
Замечание
2. В матричной
игре ситуация
называется ситуацией равновесия или
седловой точкой матрицы А, если:
,
,
.
Другими словами, элемент
является одновременно минимумом в
строке
и максимумом в столбце
.
Свойства ситуаций равновесия
Пусть
,
– ситуации равновесия в антагонистической
игре
.
Тогда:
1)
;
2)
,
– ситуации равновесия.
Необходимые и достаточные условия существования ситуации равновесия в чистых стратегиях доказываются следующей теоремой.
Теорема 1. Для того, чтобы в игре существовала ситуация равновесия, необходимо и достаточно, чтобы существовали верхняя и нижняя цены игры:
,
,
и
выполнялось равенство:
.
Доказательство
Необходимость.
Пусть
– ситуация равновесия. Докажем, что
.
Согласно Леммы 1,
,
и поэтому достаточно показать выполнение
неравенства
.
По определению ситуации равновесия:
,
,
.
Тогда
,
а следовательно,
.
Так
как
,
то
.
(*)
Аналогично:
.
(**)
Из
(*), (**) следует:
,
что и требовалось доказать.
Достаточность.
Пусть
существуют
,
и выполнено равенство
.
Конструктивно докажем существование
ситуации равновесия в этом случае.
Пусть
и
;
и
.
Докажем, что – ситуация равновесия.
;
.
Тогда,
так как правые части неравенств равны
по условию, то
,
и
,
,
,
что и требовалось доказать.
В
случае, если верхняя цена игры и нижняя
совпадают, величину
называют ценой
игры.
Для антагонистической игры справедлива следующая лемма о масштабе.
Лемма 2. ( Лемма о масштабе)
Пусть
и
– две антагонистические
игры, причем
,
где
,
– некоторые константы. Тогда множества
оптимальных стратегий
и
совпадают и
.
Примеры
Пример 1. Найти верхнюю и нижнюю цены игры и ситуацию равновесия, при условии, что она существует, если матрица имеет вид:
.
Решение
Найдем нижнюю цену игры.
Если
Р1 выберет первую стратегию, то он получит
гарантированно
.
Если
Р1 выберет стратегию 2, то он получит
гарантированно
.
Если
Р1 выберет стратегию 3, то он получит
гарантированно
.
Тогда
выбором своей стратегии Р1 может
получить, по крайней мере не меньше
.
Найдем верхнюю цену игры.
Если
Р2 выберет первую стратегию, то он
проиграет гарантированно не больше
.
Если
Р2 выберет стратегию 2, то он проиграет
гарантированно не больше
.
Если
Р2 выберет стратегию 3, то он проиграет
гарантированно не больше
.
Тогда
выбором своей стратегии Р2 может
проиграть, по крайней мере, не меньше
.
Так как
=1,
то равновесием является пара
и v=1.
Пример
2. Пусть дана
матрица выигрышей игрока P1
.
Найти ситуации равновесия.
Решение
В
данной игре
,
,
и поэтому игра не имеет ситуации
равновесия. Если игрок P1
выбирает свою чистую максиминную
стратегию
,
то игрок P2,
выбрав свою минимаксную стратегию
,
проигрывает только 20 единиц. В этом
случае P1
выгодно выбрать стратегию
,
то есть отклониться от своей максиминной
стратегии и выиграть 30. Тогда P2
будет выгодно отклониться от своей
чистой минимаксной стратегии и проиграть
10. В свою очередь, игрок P1
должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы
выиграть 40, а P2
ответит выбором 2-ой стратегии и т. д.