3. Сведение игры к задаче линейного программирования
Пусть
– матрица антагонистической игры с
элементами
(это условие обеспечивает положительность
цены игры v).
Пусть
– смешанная стратегия первого игрока,
– смешанная стратегия второго игрока.
Тогда из неравенств свойства 2 оптимальных
стратегий смешанного расширения игры:
, ,
Разделим уравнения и неравенства систем на v>0:
,
,
Введем
замену:
,
,
;
.
Тогда:
,
,
Так
как первый игрок максимизирует величину
гарантированного выигрыша (v)
и, соответственно, минимизирует величину
,
а второй игрок максимизирует величину
,
то получаем следующие двойственные
друг другу задачи линейного программирования:
,
,
(4) (4д)
В
теореме фон Неймана-Нэша п. 2.5 будет
доказано, что если
– решения задачи (4) и (4д) соответственно,
то
– цена игры, а координаты оптимальных
стратегий вычисляются по формулам:
;
.
При
этом, так как решения прямой и двойственной
задачи связаны соотношением:
,
где
является матрицей обратной к оптимальной
базисной матрице, то для нахождения
ситуации равновесия достаточно решить
одну из задач (4) или (4д).
Если
матрица игры имеет произвольный вид,
то по лемме о масштабе всегда существует
матрица
,
где
такая, что элементы матрицы
положительны. В этом случае решается
задача с новой матрицей В, а решения
исходной задачи совпадают с ее решением.
Примеры
Пример 4. Решить матричную игру методом сведения к задаче линейного программирования, если матрица игры имеет вид:
.
Решение
Так
как матрица игры содержит неположительные
элементы, то рассмотрим матрицу
,
где
,
,
.
Тогда матрица
имеет положительные элементы. Найдем
оптимальные стратегии игроков в игре
.
Выпишем задачу линейного программирования для второго игрока:
,
(5)
Каноническая форма задачи (5) имеет вид:
,
Таблица симплекс-метода решения задачи представлена ниже.
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1/3 |
|
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
2/3 |
1 |
0 |
8/3 |
1 |
-1/3 |
0 |
1/4 |
|
1 |
1/3 |
1 |
1 |
1/3 |
0 |
1/3 |
0 |
|
|
0 |
2/3 |
2 |
0 |
5/3 |
0 |
-1/3 |
1 |
|
|
|
1/3 |
0 |
0 |
-2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
|
|
1 |
1/4 |
3/8 |
0 |
1 |
3/8 |
-1/8 |
0 |
|
|
1 |
1/4 |
7/8 |
1 |
0 |
-1/8 |
3/8 |
0 |
|
|
0 |
4/9 |
11/8 |
0 |
0 |
-5/8 |
2/9 |
1 |
|
|
|
1/2 |
1/4 |
0 |
0 |
1/4 |
1/4 |
0 |
|
Критерий
останова
выполнен, оптимальным решением задачи
является вектор
,
оптимальное значение функции цели равно
.
Следовательно, цена игры
,
а, согласно лемме о масштабе, цена
исходной игры
.
Решение двойственной к (5) задачи находится
из симлексной таблицы как оценки
,
стоящие на последней итерации под
столбцами исходного базиса (в примере
,
,
).
Таким образом,
.
Возвращаясь к исходным стратегиям
игроков, получаем:
,
,
,
то есть
.
Аналогично
.