4. Равновесие по Штакельбергу

Рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц Р1 и Р2. Предположим, что игроки не являются равноправными и один из них является лидером, а второй ведомым. Ведомый игрок подстраивается под действия лидера и выбирает стратегию, максимизирующую собственный выигрыш, при условии что стратегия лидера известна и определяется следующим образом: лидер знает функции выигрыша обоих игроков , и выбирает такую свою стратегию, в которой с учетом ответной реакции ведомого игрока его выигрыш будет наибольшим.

В связи с этим введем в рассмотрение множества:

– множество наилучших ответов первого игрока на действия второго;

– множество наилучших ответов второго игрока на действия первого.

Определение 20. Ситуация называется i-равновесием по Штакельбергу в игре двух лиц , а – i-выигрышем, если и выполняются условия:

, , . (12)

Понятие i-равновесия можно интерпретировать следующим образом. Пусть i=1, тогда игрок 1 (лидер) знает функции выигрыша обоих игроков , и использует эту информацию для предсказания реакции Р2. Второй игрок, воспринимая стратегию игрока Р1 как заданную экзогенно, максимизирует свой выигрыш, выбирая стратегию так, что . Предвидя такую реакцию второго игрока, Р1 выбирает свою стратегию такой, чтобы выполнялось условие (12).

Связь между множествами наилучших ответов игроков и ситуацией равновесия по Нэшу устанавливается следующей леммой.

Лемма 5. Пусть – множество ситуаций равновесия по Нэшу в игре двух лиц Г. Тогда .

Доказательство

1. Докажем, что . Пусть , тогда, ; , , . Поэтому ; . Следовательно, по определению, , . Тогда .

2. Включение можно доказать аналогично п.1, рассуждая в обратном порядке.

Из п.1. и 2. следует равенство . Что и требовалось доказать.

Определение 21. Говорят, что в игре двух лиц имеет место борьба за лидерство, если не существует такой ситуации , что

, .

Теорема 8. Если игра двух лиц имеет по крайней мере две оптимальные по Парето и одновременно равновесные по Нэшу ситуации и с различными векторами выигрышей:

,

то в игре имеет место борьба за лидерство.

Доказательство

В силу леммы 1, для всякой ситуации равновесия по Нэшу справедливо неравенство: .

Предположим противное: в игре нет борьбы за лидерство. Тогда существуют ситуация такая, что:

,

, . (*)

Но и – ситуации равновесия по Парето, поэтому неравенство (*) должно выполняться как равенство, что противоречит условию теоремы о различных векторах выигрышей. Теорема доказана.

Примеры

Пример 5. Найти ситуации 1- и 2- равновесия по Штакельбергу в игре «семейный спор». Имеет ли место борьба за лидерство?

Решение. 1. Предположим, что в игре с матрицей лидером является игрок 1. Найдем множество наилучших ответов второго игрока на каждое действие лидера. При этом, если Р1 (муж) выберет первую свою стратегию «футбол», то Р2 (жене) следует также выбрать «футбол» (в противном случае не только муж, но и она сама выиграет 0), если Р1 выберет «театр», то Р2 следует также следует выбрать «театр». В силу этого, множество имеет вид: . Рассмотрим значение выигрыша лидера в каждой из точек данного множества: , . Максимальное значение из данных величин достигается в точке . Следовательно, данная точка и является ситуацией 1-равновесия, а .

2. Предположим, что лидером является игрок Р2. Тогда сформируем множества наилучших ответов первого игрока на каждое из действий второго: выбрать футбол или театр. В первом случае Р1 выгоднее также выбрать футбол, а во втором – театр. Следовательно, множество . Однако , , и 2-равновесием является точка , причем .

В игре «семейный спор» имеет место борьба за лидерство, так как не существует ситуации , в которой вектор вектор выигрышей обладал бы свойством: , .

Пример 6. Найти ситуации 1- и 2-равновесия по Штакельбергу в игре «дилемма заключенного». Имеет ли место борьба за лидерство?

Решение

1. Предположим, что в игре «дилемма заключенного» лидером является первый игрок.

Сформируем множество наилучших ответов второго игрока на его действия: . Найдем значения выигрыша Р1 в каждой из данных точек: , . Следовательно, 1-авновесием является точка , а .

2. Аналогично, для лидера – второго игрока , ситуацией 2-равновесия является точка , а .

В игре «дилемма заключенного» нет борьбы за лидерство, так как найдется ситуация , в которой , . В качестве такой ситуации может быть выбрана одна из точек или .