- •§ 1. Понятие игры. Классификация игр
- •§ 2. Антагонистические игры в нормальной форме
- •Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры
- •Примеры
- •. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
- •Упражнения к § 2.1. – 2.2.
- •Смешанное расширение игры
- •Методы решения матричных игр
- •Сведение игры к системе неравенств
- •Графический (графоаналитический) метод решения игры
- •3. Сведение игры к задаче линейного программирования
- •Существование оптимальных стратегий. Теорема фон Неймана-Нэша
- •Упражнения к § 2.3–2.5.
- •2.6. Доминирование стратегий
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.6.
- •2.7. Бесконечные антагонистические игры
- •Упражнения к § 2.7.
- •2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.8.
- •§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме
- •3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры
- •3.2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Равновесие в доминирующих стратегиях
- •Равновесие по Нэшу
- •Сильное равновесие по Нэшу
- •Равновесие по Парето
- •Равновесие по Штакельбергу
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Упражнения к § 3.
Методы решения матричных игр
Рассмотрим методы решения матричных игр, основанные на использовании свойств оптимальных стратегий.
Сведение игры к системе неравенств
Свойство 2 оптимальных стратегий означает, что любая матричная игра может быть сведена к системе уравнений и неравенств.
Пусть – смешанная стратегия первого игрока, – смешанная стратегия второго игрока. Тогда, согласно свойствам 2 оптимальных стратегий, выполняются следующие уравнения и неравенства:
, ,
(2) (2д)
Решением системы двух уравнений и m+n неравенств, содержащих m+n+1 переменную, являются оптимальные стратегии игроков , и цена игры .
В случае, если размерность задач оказывается достаточно небольшой, возможно найти решение системы, заменив неравенства уравнениями.
Рассмотрим следующий пример.
Примеры
Пример 1. Найти цену и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей .
Решение
Пусть – смешанная стратегия первого игрока, – смешанная стратегия второго игрока. Выпишем для игры соотношения (2) и (2д)
Заменяя системы уравнений и неравенств равенствами и решая полученную систему линейных уравнений, получаем значения искомых величин: , то есть оптимальная стратегия Р1 – , а оптимальная стратегия Р2 – , оптимальное значение цены игры: .
Графический (графоаналитический) метод решения игры
Если число стратегий хотя бы одного из игроков равна 2, то оптимальную стратегию этого игрока и оптимальное значение цены игры возможно найти графическим методом, используя свойство 3 оптимальных стратегий:
.
Рассмотрим игру, в которой игрок 1 имеет две стратегии, а игрок 2 имеет n стратегий. Матрица игры в этом случае представима в виде:
.
Пусть игрок 1 выбрал смешанную стратегию , а игрок 2 чистую стратегию j. Тогда математическое ожидание выигрыша первого игрока равно:
. (3)
Геометрически оно представляет собой прямую в координатах . Таким образом, каждой чистой стратегии j соответствует своя прямая. Графиком функции
является нижняя огибающая семейства прямых (3). Точка , в которой достигается максимум функции для , и дает требуемое оптимальное решение , а значение игры .
Примеры
Пример 2. Рассмотрим игру с матрицей .
Для каждого имеем:
Нижняя огибающая семейства прямых и сами прямые , изображены на рисунке 1.
Максимум функции находится на пересечении третьей и второй прямых. Таким образом, – решение уравнения
.
Откуда получаем оптимальную стратегию игрока 1 и
значение игры .
E
1 1
7
5
3
2
1
Рис.1
2. Рассмотрим случай, когда 2 стратегии имеет игрок 2, а игрок P1 – m стратегий. Тогда матрица А имеет вид:
.
Анализ этой игры проводится аналогично. Действительно, пусть – произвольная смешанная стратегия игрока 2. Тогда математическое ожидание проигрыша игрока 2 в ситуации равно:
.
График функции – прямая. Рассмотрим верхнюю огибающую этих прямых, то есть функцию
.
Точка минимума функции дает оптимальную стратегию и значение игры .
Пример 3. Рассмотрим графический метод решения игры с матрицей
.
Для каждого имеем:
Нижняя огибающая семейства прямых и сами прямые , изображены на рисунке 2.
Максимум функции находится на пересечении третьей и второй прямых. Таким образом, – решение уравнения .
О ткуда получаем оптимальную стратегию игрока 1 и значение игры .
E
4
2
1
-3 1
Рис.2