- •§ 1. Понятие игры. Классификация игр
- •§ 2. Антагонистические игры в нормальной форме
- •Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры
- •Примеры
- •. Ситуация равновесия в чистых стратегиях:
- •Упражнения к § 2.1. – 2.2.
- •Смешанное расширение игры
- •Методы решения матричных игр
- •Сведение игры к системе неравенств
- •Графический (графоаналитический) метод решения игры
- •3. Сведение игры к задаче линейного программирования
- •Существование оптимальных стратегий. Теорема фон Неймана-Нэша
- •Упражнения к § 2.3–2.5.
- •2.6. Доминирование стратегий
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.6.
- •2.7. Бесконечные антагонистические игры
- •Упражнения к § 2.7.
- •2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Примеры
- •Упражнения к § 2.8.
- •§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме
- •3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры
- •3.2. Принципы оптимальности в бескоалиционных играх
- •Равновесие в доминирующих стратегиях
- •Равновесие по Нэшу
- •Сильное равновесие по Нэшу
- •Равновесие по Парето
- •Равновесие по Штакельбергу
- •Смешанное расширение бескоалиционной игры
- •Упражнения к § 3.
Принятие решений в условиях полной неопределенности
В условиях отсутствия дополнительной информации о вероятностях появления конкретных состояний природы используются следующие критерии: критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма), максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма), Сэвиджа, Гурвица (пессимизма-оптимизма).
1. Критерий максимакса.
С помощью данного критерия определяется стратегия , применяя которую, игрок при благоприятном стечении обстоятельств может получить максимально возможный выигрыш:
M= .
Максиминный критерий Вальда.
С позиции данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник (как игрок P2 в антагонистических играх). В этом случае игра становится антагонистической и наилучшей признается стратегия, на которой достигается нижняя цена игры:
W= .
Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей A, а матрицей рисков R:
S= .
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.
Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом. Согласно этому критерию, стратегия в матрице A выбирается в соответствии со значением
,
где p ( ) – коэффициент пессимизма.
Отметим, что при p=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при p=1 – с критерием Вальда.
Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:
.
Принятие решений в условиях риска
Будем считать, что для природы известны вероятности появления состояния , задаваемые, например, экспертно. В этом случае лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, то есть
.
Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:
.
Примеры
Пример 1. (Заготовка угля для обогрева дома)
Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Вторым игроком выступает природа – погодные условия зимой. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что неизвестно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной.
Имеются следующие данные о количествах и ценах угля, необходимого зимой для отопления (таблица 1).
Таблица 1
-
Зима
Количество угля, т.
Средняя цена за 1 т., д.е.
Мягкая
4
7
Средняя
5
7,5
Холодная
6
8
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 д.е. за 1 т., есть место для хранения запаса угля до 6 т., заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадает. Сколько угля летом покупать на зиму?
Рассмотрим 2 случая: 1) вероятности наступления каждой из типов зим неизвестны (случай полной неопределенности); 2) известны наступления вероятности каждой зимы: для мягкой зимы – 0,35; для средней зимы – 0,5; холодной – 0,15.
Решение
Построим матрицу выигрыша.
-
Зима
Количество угля
Мягкая
Средняя
Холодная
4 т
-24
-31,5
-40
5 т
-30
-30
-38
6 т
-36
-36
-36
Для поиска стратегии игрока Р1, минимизирующего затраты в условиях полной неопределенности, воспользуемся каждым из перечисляемых выше критериев.
Критерий максимакса.
Согласно данному критерию находим максимальный элемент матрицы выигрышей:
. Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию (4 т.).
Максиминный критерий Вальда.
.
Следовательно, рекомендуется выбирать стратегию (6 т.).
Критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Построим матрицу риска R, используя матрицу A.
Вычислим величины :
= .
Тогда S=
Согласно данному критерию следует воспользоваться стратегией (4 т.).
4. Критерий Гурвица.
Рассмотрим случай, когда коэффициент пессимизма равен 0,5.
Тогда =
=
= . Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию (4 т.).
Отметим, что выбор конкретного критерия принятия решений зависит от субъективных особенностей Р1 (его склонности к риску). Однако, так как по 3 критериям из 4 лучшей оказалась первая стратегия, то эту стратегию и можно рекомендовать игроку.
Рассмотрим процедуру принятия решений в условиях риска.
Для каждой чистой стратегии первого игрока рассмотрим математическое ожидание выигрыша при применении им данной стратегии, для чего составим таблицу
-
Вероятность
0,35
0,5
0,15
Математическое ожидание
Зима
Количество
Мягкая
Средняя
Холодная
4 т.
-24
-31,5
-40
=0,35(-24)+ 0,5(-31,5) + 0,15(-40) =
=-30,15
5 т.
-30
-30
-38
=0,35(-30) + 0,5(-30) + 0,15(-38)=
=-31,2
6 т.
-36
-36
-36
=-36
Как видно из таблицы, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай закупки угля в размере 4 т., и по данному критерию первая стратегий Р1 является лучшей.