Тема 2. Матрицы.
Матрицей
размера
называется
прямоугольная таблица из чисел
(
,
):
,
состоящая из
строк и
столбцов. Если необходимо указать
размеры матрицы, то пишут
.
Если
,
то матрица
называется квадратной.
Нулевой
называется матрица
,
все элементы которой равны нулю, например:
.
Единичной
называется квадратная матрица
,
на главной диагонали которой стоят
единицы, а все остальные элементы равны
нулю, например:
.
Треугольной
называется квадратная матрица
,
все элементы которой расположенные по
одну сторону от главной диагонали равны
нулю, например:
.
Трапециевидной
(ступенчатой)
называется матрица
,
все элементы которой, расположенные
ниже элементов
равны нулю, например:
.
Матрицы
и
называются равными
и пишут
,
если они одинакового размера и их
соответствующие элементы равны:
,
,
.
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной
к матрице
называется матрица
,
столбцами которой являются соответствующие
строки матрицы
.
Суммой
(разностью) матриц
и
одного размера
,
называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Произведением
матрицы
размера
на число
называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Линейной
комбинацией
матриц
и
одного размера
,
называется матрица
того же размера (
и
- произвольные числа), для которой:
,
,
,
Произведением
матрицы
на матрицу
называется матрица
,
каждый элемент которой
вычисляется по правилу:
,
,
.
Операция
умножения матрицы на матрицу определена
не для всех матриц, а только для таких
у которых число столбцов левой матрицы
равно числу строк правой матрицы
.
Такие матрицы называются согласованными
для умножения.
Поэтому прежде чем выполнять операцию
умножения матрицы на матрицу следует
проверить их согласованность для
умножения и определить размерность
матрицы-произведения (если умножение
матриц возможно):
.
Особенность операции умножения матриц
состоит в том, что в общем случае:
,
т.е. переместительное свойство места
не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы
и
,
полученные одна из другой в результате
элементарных преобразований называются
эквивалентными
и пишут
.
Обратной
к квадратной
матрице
порядка
,
называется матрица
того же порядка, если:
,
где
-
единичная матрица порядка
.
Квадратная
матрица
называется невырожденной,
если её определитель
.
Обратная матрица всегда существует для
невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод
присоединённой матрицы.
Если
-невырожденная
матрица, то
,
где
- присоединённая матрица, для которой:
.
Здесь
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
В
частности, если
,
то
Метод
элементарных преобразований.
Для данной
квадратной матрицы
порядка
строится прямоугольная матрица
размера
приписыванием к
справа единичной матрицы. Далее, с
помощью элементарных преобразований
над строками, матрица
приводится к виду
,
что всегда возможно, если
- невырожденная.
Матричными
называются
уравнения вида:
,
,
,
где
матрицы
- известны, матрица
-
неизвестна. Если квадратные матрицы
и
- невырожденные, то решения матричных
уравнений записываются, соответственно,
в виде:
,
,
.
Минором
-ого
порядка матрицы
размера
называется определитель
квадратной матрицы порядка
,
образованной элементами матрицы
,
стоящими на пересечении произвольно
выбранных её
строк и
столбцов
.
Максимальный порядок
отличных от нуля миноров матрицы
,
называется её рангом
и обозначается
или
,
а любой минор порядка
,
отличный от нуля – базисным
минором.