5. Материалы для контроля знаний студентов.
Итоговой формой контроля знаний является экзамен в конце семестра обучения. На экзамене студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2 и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.
5.1. Задания для контрольной работы.
1 – 10. Вычислить определитель:
а)
непосредственным
разложением по
строке;
б)
непосредственным
разложением по
столбцу.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11
– 20. Найти
матрицу
,
если
.
11.
,
12.
,
13.
,
14.
,
15.
,
16.
,
17.
,
18.
,
19.
,
20.
,
.
21
– 30. Найти
собственные
числа и собственные векторы матрицы
.
21. . 22. . 23. .
24. . 25. . 26. .
27. . 28. . 29. .
30. .
31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти решение системы методом Крамера;
б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
41
а)
б)
42
а)
б)
43.
а)
б)
44.
а)
б)
45.
а)
б)
46.
а)
б)
47.
а)
б)
48.
а)
б)
49.
а)
б)
50.
а)
б)
51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55.
.
56.
.
57.
.
58.
.
59.
.
60.
.
61
– 70. Даны
векторы
.
Требуется:
а)
вычислить
скалярное произведение векторов
,
если
,
;
б) вычислить
векторное произведение векторов
;
в)
показать,
что векторы
образуют базис и найти координаты
вектора
в этом базисе.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71-80.
Даны вершины
треугольника
.
Требуется
найти:
а)
длину стороны
;
б) уравнение
стороны
;
в)
уравнение
медианы
,
проведённой
из вершины
;
г)
уравнение
высоты
,
проведённой из вершины
;
д)
длину
высоты
;
е) площадь
треугольника
.
Сделать
чертёж.
71.
.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81
– 90. Даны
вершины пирамиды
.
Требуется
найти:
а)
длины ребер
и
;
б) угол
между ребрами
и
;
в) площадь грани ; г) объем пирамиды ;
д)
уравнение
плоскости грани
;
е)
длину
высоты
пирамиды
.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111-120.
Имеются
данные о работе трёх отраслей экономики
в отчётном периоде и план выпуска
конечной продукции
в следующем периоде (в усл. ден. ед.).
Требуется, используя модель Леонтьева
многоотраслевой экономики, найти: а)
матрицы коэффициентов прямых и полных
затрат; б)
плановые объёмы выпуска валовой продукции
каждой из отраслей, межотраслевые
поставки и объёмы выпуска чистой
продукции. В ответе записать данные
межотраслевого баланса планового
периода. (Указание:
значения
коэффициентов прямых и полных затрат
вычислить с точностью до 0.01; значения
плановых объёмов выпуска валовой и
чистой продукции, межотраслевых поставок
округлить до целых значений).
111.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
10 |
20 |
10 |
60 |
100 |
II |
20 |
30 |
20 |
30 |
100 |
III |
60 |
10 |
20 |
10 |
100 |
Чистый продукт |
10 |
40 |
50 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
112.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
20 |
20 |
25 |
35 |
100 |
II |
50 |
10 |
10 |
30 |
100 |
III |
15 |
20 |
40 |
25 |
100 |
Чистый продукт |
15 |
50 |
25 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
113.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
10 |
40 |
10 |
40 |
100 |
II |
10 |
20 |
40 |
30 |
100 |
III |
20 |
30 |
30 |
20 |
100 |
Чистый продукт |
60 |
10 |
20 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
114.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
10 |
40 |
20 |
30 |
100 |
II |
50 |
20 |
25 |
5 |
100 |
III |
30 |
20 |
20 |
30 |
100 |
Чистый продукт |
10 |
20 |
35 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
115.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
10 |
40 |
30 |
20 |
100 |
II |
40 |
30 |
20 |
10 |
100 |
III |
30 |
20 |
40 |
10 |
100 |
Чистый продукт |
20 |
10 |
10 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
116.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
15 |
25 |
30 |
30 |
100 |
II |
10 |
40 |
20 |
30 |
100 |
III |
30 |
30 |
30 |
10 |
100 |
Чистый продукт |
45 |
5 |
20 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
117.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
15 |
15 |
25 |
45 |
100 |
II |
15 |
20 |
30 |
35 |
100 |
III |
10 |
25 |
20 |
45 |
100 |
Чистый продукт |
60 |
40 |
25 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
118.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
10 |
20 |
20 |
50 |
100 |
II |
20 |
25 |
25 |
30 |
100 |
III |
25 |
25 |
30 |
20 |
100 |
Чистый продукт |
45 |
30 |
25 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
119.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
25 |
10 |
20 |
45 |
100 |
II |
25 |
20 |
50 |
5 |
100 |
III |
10 |
30 |
20 |
40 |
100 |
Чистый продукт |
40 |
40 |
10 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|
120.
Отрасли производства |
Отрасти потребления |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||
I |
II |
III |
|||
I |
15 |
20 |
30 |
35 |
100 |
II |
30 |
15 |
20 |
35 |
100 |
III |
10 |
20 |
30 |
40 |
100 |
Чистый продукт |
45 |
45 |
20 |
|
|
Валовой продукт |
100 |
100 |
100 |
|
|