4. Вычислить приближенно .

5. Показать, что функция z = arctg удовлетворяет уравнению .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – y² + 2a² в круге x² + y² ≤ a².

7. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению;

г) уравнения касательной плоскости и нормали.

z = ; M(1; 2); =(0; 1).

8. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = xy² – 2x³ + 2y² + 8x.

9. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

а) u = x² - y²; 2x - y – 3 = 0;

б) u = 2x + y – z + 1; x² + y² + 2z² = 22.

10. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	10,1	11,5	13,6	16,2	17,5
yi	0,9	0,8	0,6	0,3	0,2

Вариант 19.

1. Найти область определения функции z =

2. Найти предел функции .

3. Найти и

а) z = ; б) x cosy + y cosz + z cosx = 1.

4. Вычислить приближенно .

5. Показать, что функция z = e^xy удовлетворяет уравнению .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x³ + 4x² + y² – 2xy в замкнутой области, ограниченной линиями y = x² и y = 4.

7. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению;

г) уравнения касательной плоскости и нормали.

z = ; M(2; 3); =(-1; 1).

8. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = x²y – y³ – 3x² + 2y.

9. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

а) u = 10 + 2xy - x²; y = 4 - x²;

б) u = xyz; x² + y² + z² = 1, x + y + z = 0.

10. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	0,1	0,3	0,5	1,2	2,1
yi	1,0	1,1	1,2	1,4	1,6

Вариант 20.

1. Найти предел функции .

2. Найти область определения функции z = .

3. Найти и

а) z = ; б) x² + y² + z² - 6x = 0.

4. Вычислить приближенно .

5. Показать, что функция z = ln(x + e^-y) удовлетворяет уравнению .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3xy в круге x² + y² ≤ 2.

7. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению;

г) уравнения касательной плоскости и нормали.

z = xy; M(3; 4); =(1; 2).