Вариант 11

1. Найти область определения функции z = .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = sin(x + ay) удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x³ + 4x² + y² – 2xy в замкнутой области, ограниченной линиями y = x² и y = 4.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = e^x cosy; M(1; 0); =(1; -2).

6. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = 2x³ + y² + 2xy – 4x - 1.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z= (x - 1)² + (y + 1)²; x² + y² – 2xy = 0;

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	2,1	3,0	3,2	3,9	4,1
yi	3,4	8,1	9,2	12,6	13,3

Вариант 12

1. Найти область определения функции z = x + arccosy .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = cosy + (y - x)siny удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³ + y³ – 9xy + 27 в квадрате 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x – y + ; M(0; 0); α = arccos(5/13).

6. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = y³ + 3xy – x³ + 9.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z= x⁴ + y⁴; (x – 1)³ - y² = 0.

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	1,7	1,9	2,3	2,5	3,5
yi	0,1	-0,6	-2,0	-2,7	-5,3

Вариант 13

1. Найти область определения функции z = 2xy + .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3xy в круге x² + y² ≤ 2.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = sin ; M(π; 1); α = arccos(1/4).