Вариант 16.

1. Найти область определения функции z = ln .

2. Найти предел функции .

3. Найти и

а) z = ; б) ln(xy + z) + zxy = 1.

4. Вычислить приближенно .

5. Показать, что функция z = arctg(2x - y) удовлетворяет уравнению .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²y в области x² + y² ≤ 1.

7. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению;

г) уравнения касательной плоскости и нормали.

z = ln ; M(0; 1); =(1; 1).

8. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = 2x + x² + y² - y + 3.

9. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

а) u = ; , x ≥ 0, y ≥ 0;

б) u = xyz; xy + yz + xz = 8, x + y + z = 5.

10. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	2,1	2,3	3,1	3,8	4,5
yi	-9,3	-7,2	-13,4	-16,1	-18,9

Вариант 17.

1. Найти область определения функции z = .

2. Найти предел функции .

3. Найти и

а) z = ln sin ; б) e^xy + e^xz + e^yz = 0.

4. Вычислить приближенно arctg .

5. Показать, что функция z = x · удовлетворяет уравнению .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + 2xy – 4x + 8y в прямоугольнике x = 0, y = 0, x = -1, y = 2.

7. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению;

г) уравнения касательной плоскости и нормали.

z = 2x² - 4y²; M(-2; 1); =(1; -3).

8. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = x³ + 2xy - y² + 2x² – 7x + 2y - 3.

9. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

а) u = x² + y²; 3x + 2y – 6 = 0;

б) u = + y² + z²; x² + y² + z² = 1, x + 2y + 3z = 0.

10. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	1,1	2,1	3,4	4,3	4,9
yi	-0,8	1,2	3,8	5,4	6,7

Вариант 18.

1. Найти область определения функции z = arcsin .

2. Найти предел функции .

3. Найти и

а) z = · lny; б) x² + y² – z² - xy = 0.