Вариант 6

1. Найти область определения функции z = arccos .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = ln(x² + y² + 2x + 1) удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – xy + 2y² + 3x + 2y + 1 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x + y + 5 = 0.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x²y³ – xy² – ; M(2; ); =(1; 0).

6. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = x – y – + 11.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z = 1 - 4x - 8y; x² - 8y² = 8.

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	-3,4	-3,2	-3,1	-2,5	-1,5
yi	-13,9	-12,9	-12,2	-9,1	-4,2

Вариант 7

1. Найти область определения функции z = .

2. Вычислить приближенно arctg .

3. Показать, что функция z = ln(x + e^-y) удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – y² в области x² + y² ≤ 1.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x² + y²; M(1; 1); α = π/3.

6. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = y³ + 3x²y – 3x² – 12y.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z = x² + xy + y²; x² + y² = 1.

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	2,1	2,5	3,0	3,1	3,3
yi	11,1	12,8	13,9	14,5	15,1

Вариант 8

1. Найти область определения функции z = x + .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – y² + 8 в круге x² + y² ≤ 4.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = (x – y)² – x + 2y; M(1; 1); =(-1; -2).