Вариант 1

1. Найти область определения функции z = ln(x² + y² – 1).

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = arctg(2x-y) удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – y² + 2

в круге x² + y² ≤ 1.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x³ – x²y + y³ – 1; M(2; 1); α = π/6.

6. Исследовать на экстремум функцию двух переменных:

z = x³ – 6xy + 3y² – 9x.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z= 1 + ; .

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	1,0	1,5	2,0	3,0	3,2
yi	8,1	9,0	11,2	13,8	14,7

Вариант 2

1. Найти область определения функции z = .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = arctg удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x³ + 4x² + y² - 2xy в замкнутой области, ограниченной линиями y = x² и y = 4.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x – x²y + y⁴; M(1; 1); , B(4; -2).

6. Исследовать на экстремум функции двух переменных.

z = y³ + 6y² + 6xy + 3x² – 9y.

7. Найти условные экстремумы функции при заданных условиях связи.

z = xy; x³ + y³ - xy = 0.

8. Для предложенных данных:

• Построить точки на координатной плоскости.

• Определить вид линейной зависимости с помощью составления и решения соответствующей системы нормальных уравнений и с помощью формул, которые определяют коэффициенты через средние значения.

• Определить вид квадратичной зависимости.

• Построить найденные линии на координатной плоскости.

хi	0,3	0,5	0,8	1,1	2,3
yi	1,4	0,7	-0,9	-2,3	-8,8

Вариант 3

1. Найти область определения функции z = .

2. Вычислить приближенно .

3. Показать, что функция z = e^xy удовлетворяет уравнению .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³ + y³ – 9xy + 27 в квадрате 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

5. Для заданной поверхности z = z(x,y) найти в точке М:

а) уравнение линии уровня функции z(x,y);

б) производную z(x,y) по направлению, заданному вектором или углом с осью Оx;

в) направление наибольшего возрастания z и производную по этому направлению.

z = x² – xy + y² + 2; M(1; 2); =(1; 1).