- •Высшая математика
- •Введение
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы
- •1.Неопределенный интеграл
- •Непосредственное интегрирование.
- •Интегралы вида .
- •Интегралы вида
- •Основные методы вычисления определенных интегралов
- •Формула Ньютона – Лейбница.
- •2.Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Приложения определенных интегралов
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение вида .
- •Уравнение вида .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения - го порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность функции
- •Частные производные. Дифференциал функции
- •Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремумы функции нескольких переменных
- •Оглавление
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы………….…3
- •3. Несобственные интегралы ……………………………………………….15
- •4. Приложения определенных интегралов ………………………………...17
- •Глава II. Дифференциальные уравнения ……………………………...18
- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ……………………………………………………………………31
3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение вида .
Общее решение уравнения вида
(13)
получается путем - кратного интегрирования правой части исходного уравнения:
.
Уравнение вида .
Данное уравнение не содержит явно искомую функцию и её производные до -го порядка включительно. С помощью замены , где - новая неизвестная функция, порядок уравнения может быть понижен на единиц. Действительно, в силу замены: . Следовательно, после подстановки значений производных в исходное уравнение получим уравнение -го порядка:
.
Предположим, что полученное уравнение мы можем решить, и его общее решение имеет вид:
.
Тогда искомую функцию находим из уравнения
,
которое является уравнением вида (13).
Уравнение вида .
Данное уравнение не содержит явно независимую переменную . С помощью замены , где - новая неизвестная функция, порядок уравнения может быть понижен на единицу. Действительно, в силу замены: , и т.д. Следовательно, после подстановки значений производных в исходное уравнение -го порядка
.
Предположим, что полученное уравнение мы можем решить, и его общее решение имеет вид:
.
Тогда искомую функцию находим из уравнения
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Задание 1. Найти решение уравнения: .
Решение. Общее решение данного уравнения может быть получено в результате 2- кратного интегрирования правой части уравнения. Имеем:
.
И далее
.
Задание 2. Найти решение уравнения: .
Решение. Данное уравнение не содержит явно искомой функции . Следовательно, сделаем замену , где - новая неизвестная функция. Тогда . Подставим полученные значения и в исходное уравнение:
(14)
Уравнение (14) является однородным. Для нахождения его общего решения сделаем замену:
,
или , где - новая неизвестная функция. Тогда: . Подставим значения и в уравнение (14):
,
или
. (15)
Уравнение (15) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные в предположении, что , из (15) имеем:
.
Интегрируя
,
получаем, что .
После преобразования последнего соотношения и обратной замены имеем:
. (16)
Если теперь предположим, что в (15) , то . Следовательно,
,
или
. (17)
Равенство (17) получается из (16) при .
Таким образом, мы получили общее решение уравнения (14):
.
Следовательно, чтобы найти искомую функцию нам надо проинтегрировать функцию :
Задание 3. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение не содержит явно независимой переменной . Следовательно, замена позволяет понизить порядок исходного уравнения. Действительно, из замены получаем: . Подставляя значения и в данное уравнение, имеем:
. (18)
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Если в уравнении (18) , то , т.е. .
Если , то после деления на получаем:
,
или
. ( 19)
Интегрируя (19), находим общее решение уравнения (18) в случае :
,
или
.
Тогда искомая функция исходного уравнения ищется как решение уравнения:
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Имеем:
.
Интегрируя последнее уравнение, находим:
,
или
, где .
Заметим, что в общее решение входят полученные ранее решения .