- •Высшая математика
- •Введение
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы
- •1.Неопределенный интеграл
- •Непосредственное интегрирование.
- •Интегралы вида .
- •Интегралы вида
- •Основные методы вычисления определенных интегралов
- •Формула Ньютона – Лейбница.
- •2.Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Приложения определенных интегралов
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение вида .
- •Уравнение вида .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения - го порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность функции
- •Частные производные. Дифференциал функции
- •Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремумы функции нескольких переменных
- •Оглавление
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы………….…3
- •3. Несобственные интегралы ……………………………………………….15
- •4. Приложения определенных интегралов ………………………………...17
- •Глава II. Дифференциальные уравнения ……………………………...18
- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ……………………………………………………………………31
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (7)
где и - заданные непрерывные функции.
Замена , где - новая неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:
. (8)
Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:
, (9)
где и - заданные непрерывные функции, .
Замена , где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:
. (10)
Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .
Задание 1. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:
и разделим переменные:
. (11)
Интегрируем (11):
,
и получаем общее решение данного уравнения:
.
Задание 2. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение является однородным. Сделаем замену искомой функции: , где функция - новая искомая функция. Тогда имеем: . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение
,
или
.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. (12)
Интегрируем (12):
,
и получаем общий интеграл уравнения (12):
.
Возвращаясь к функции , находим общий интеграл исходного уравнения:
.
Задание 3. Решить уравнение: .
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь . Следовательно, . Сделаем замену , где - новая неизвестная функция. Тогда . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменным:
,
или
.
Разделив переменные:
и интегрируя
,
получаем, что
.
Возвращаясь к функции , находим:
- общее решение исходного линейного уравнения.