3. Интегралы вида

где Для вычисления данных интегралов применяются тригонометрические формулы:

Интегрирование иррациональных функций

1. Рассмотрим интеграл вида , где -рациональная функция своих аргументов; .

Замена , где , ( - наименьшее общее кратное), приводит данный интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента .

2. Рассмотрим интеграл вида . Для вычисления данного интеграла в квадратичном трехчлене выделяют полный квадрат: . Далее заменой исходный интеграл приводится к одному из следующих интегралов:

, если где

, если где

, если где

Последние интегралы с помощью соответствующих подстановок:

приводятся к интегралам вида .

Задание 1. Вычислить интеграл: .

Решение. Данный интеграл можно вычислить непосредственным интегрированием. Действительно,

.

Задание 2. Вычислить интеграл: .

Решение. Данный интеграл не является табличным. Его можно вычислить методом замены переменной. Положим: Тогда , т.е. . Следовательно,

Задание 3. Вычислить интеграл: .

Решение. Данный интеграл не является табличным. Методом замены переменной мы также не достигнем нужного нам результата. Его можно вычислить методом интегрирования по частям. Для этого положим . Тогда . Следовательно, по формуле интегрирования по частям (2) имеем:

.

Задание 4. Найти интеграл: .

Решение. Заметим, что подынтегральная функция данного интеграла является правильной рациональной функцией. Разложим её на сумму простейших дробей:

, (3)

где - неопределенные коэффициенты.

Д ля нахождения значений коэффициентов правую часть равенства (3) приводим к общему знаменателю:

(4)

Из равенства дробей (3) и (4) получаем:

.

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях . Следовательно, имеем:

(5)

Решив систему алгебраических уравнений (5), получим:

.

Таким образом, разложение дроби на сумму простейших дробей имеет вид:

.

Следовательно, исходный интеграл равен:

.

Задание 5. Найти интеграл: .

Решение. Данный интеграл является интегралом от рациональной функции аргументов и . Полагая , имеем

.

Задание 6. Найти интеграл:

Решение. Рассматриваемый интеграл является интегралом от иррациональной функции. Подстановка приведёт данный интеграл к интегралу от рациональной функции аргумента . Действительно имеем: и

.

Подынтегральная функция полученного интеграла является неправильной рациональной функцией. Чтобы вычислить интеграл, необходимо выделить целую часть дроби и представить эту дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции (выполнив деление многочленов). В результате получим:

.

Следовательно, имеем:

.

Таким образом,

.

2. Определенный интеграл

Определение определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок произвольным образом на частей (элементарных отрезков):

.

Составим сумму , где (точки пунктуации), (длины элементарных отрезков), . Эта сумма называется интегральной суммой Римана. Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы Римана при условии, что , причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки, ни от способа выбора точек пунктуации , то функция называется интегрируемой на отрезке , а сам предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Следовательно, по определению имеем:

. (6)

Основные свойства определенного интеграла

1) , где

2)

3)

4)