- •Высшая математика
- •Введение
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы
- •1.Неопределенный интеграл
- •Непосредственное интегрирование.
- •Интегралы вида .
- •Интегралы вида
- •Основные методы вычисления определенных интегралов
- •Формула Ньютона – Лейбница.
- •2.Замена переменной в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Приложения определенных интегралов
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •3. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение вида .
- •Уравнение вида .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения - го порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
- •2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
- •1. Основные понятия
- •2. Предел и непрерывность функции
- •Частные производные. Дифференциал функции
- •Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремумы функции нескольких переменных
- •Оглавление
- •Глава I. Неопределенные и определенные интегралы………….…3
- •3. Несобственные интегралы ……………………………………………….15
- •4. Приложения определенных интегралов ………………………………...17
- •Глава II. Дифференциальные уравнения ……………………………...18
- •Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ……………………………………………………………………31
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Теоретические вопросы
1. Определение функции многих переменных.
2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
3. Частные производные.
4. Дифференциал функции.
5. Производная по направлению. Градиент.
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
7. Экстремум функции нескольких переменных.
Литература
1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1998. Ч. 1,2.
1. Основные понятия
Пусть - произвольное множество точек n - мерного арифметического пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что на множестве задана функция от n переменных . Множество называется областью определения, а множество - областью значений функции . В частном случае, если n=2, имеем функцию двух переменных: .
2. Предел и непрерывность функции
Число называется пределом функции при , если для любого числа найдется такая - окрестность точки : , что для любой точки из этой окрестности имеет место неравенство: .
Записывают этот факт следующим образом:
. (1)
Заметим, что свойства пределов и действия над пределами для функции многих переменных аналогичны свойствам пределов и действиям над пределами для функции одной переменной.
Функция называется непрерывной в точке , если:
1) ;
2) . (2)
Свойства непрерывных функций многих переменных и действия над непрерывными функциями многих переменных аналогичны свойствам непрерывных функции одной переменной и действиям над непрерывными функциями одной переменной.
Точка называется точкой разрыва непрерывности функции , если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. если нарушено хотя бы одно из условий определения непрерывности.
Частные производные. Дифференциал функции
Частной производной функции по переменной в точке называется предел:
, (3)
где - приращение аргумента . Аналогично определяется частная производная функции по переменной в точке :
, (4)
где - приращение аргумента . Частные производные функции по переменной обозначают различными способами, например:
Аналогично частные производные функции по переменной обозначают следующим образом:
Заметим, что в силу определения частной производной все правила и формулы дифференцирования, введенные для функции одной переменной, сохраняются. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.
Частные производные и функции также являются функциями двух переменных и . Поэтому эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции и обозначаются следующим образом:
- вторая частная производная функции по переменной ;
- вторая частная производная функции по переменной ;
- смешанные производные второго порядка функции .
Выражение
называется полным приращением функции в точке , а выражение
- полным дифференциалом функции .
Аналогичные формулы имеют место и для функции трех переменных .
Задание. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:
.
Решение. Найдем соответствующие частные производные, входящие в данное уравнение:
Подставим полученные значения частных производных второго порядка от функции в исходное уравнение. Получим:
.
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.