Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
(7)
где
и
-
заданные непрерывные функции.
Замена
,
где
-
новая неизвестная функция,
-
любая первообразная функции
,
преобразует линейное уравнение (7) в
уравнение с разделяющимися переменными
вида:
.
(8)
Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:
,
(9)
где
и
-
заданные непрерывные функции,
.
Замена
,
где
-
неизвестная функция,
-
любая первообразная функции
,
преобразует уравнение Бернулли в
уравнение с разделяющими переменными
вида:
.
(10)
Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .
Задание 1.
Решить
уравнение:
.
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:
и разделим переменные:
.
(11)
Интегрируем (11):
,
и получаем общее решение данного уравнения:
.
Задание 2.
Решить
уравнение:
.
Решение.
Данное уравнение является однородным.
Сделаем замену искомой функции:
,
где функция
-
новая искомая функция. Тогда имеем:
.
Подставляя значения
и
в исходное уравнение, получим уравнение
,
или
.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
(12)
Интегрируем (12):
,
и получаем общий интеграл уравнения (12):
.
Возвращаясь к функции , находим общий интеграл исходного уравнения:
.
Задание 3.
Решить
уравнение:
.
Решение.
Данное уравнение является линейным.
Здесь
.
Следовательно,
.
Сделаем замену
,
где
-
новая неизвестная функция. Тогда
.
Подставляя значения
и
в исходное уравнение, получим уравнение
с разделяющимися переменным:
,
или
.
Разделив переменные:
и интегрируя
,
получаем, что
.
Возвращаясь к функции , находим:
- общее решение исходного линейного уравнения.