4. Приложения определенных интегралов
Площадь плоской фигуры
Пусть плоская
фигура ограничена кривыми
и
,
при условии, что функции
- непрерывны и
,
и вертикальными прямыми
и
.
Тогда площадь
данной
фигуры
вычисляется по формуле:
.
(16)
Если фигура
ограничена кривой, которая задана
параметрическими уравнениями
,
,
прямыми
и осью
,
то площадь данной фигуры вычисляется
по формуле:
,
(17)
где
.
Если фигура
ограничена кривой, которая задана
уравнением в полярных координатах
,
и двумя лучами
,
то площадь
данной фигуры вычисляется по формуле:
.
(18)
Длина дуги кривой
Если гладкая кривая
задана уравнением
,
то длина её дуги от точки
до точки
вычисляется по формуле:
.
(19)
Если гладкая кривая
задана параметрическими уравнениями
,
то
.
(20)
Если задана гладкая
пространственная кривая параметрическими
уравнениями
,
то справедлива формула аналогичная
(20):
.
(21)
Если гладкая кривая
задана уравнением в полярных координатах
,
то
.
(22)
Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности,
образованной вращением дуги кривой
,
вокруг оси
,
вычисляется по формуле:
.
(23)
Если кривая задается
параметрическими уравнениями
,
,
то:
.
(24)
Объём тела
Если площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной
оси
,
является непрерывной функцией на отрезке
,
то объём тела вычисляется по формуле:
.
(25)
Объем тела,
образованного
вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной кривыми
,
(
)
и прямыми
,
вычисляется по формуле:
.
(26)
Задание 1.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Сделать чертеж.
Решение. Найдем точки пересечения кривых:
,
откуда
.
Тогда по формуле вычисления площади
плоской фигуры (16) имеем:
Сделаем чертеж.
Задание 2.
Вычислить
длину дуги окружности
.
Решение.
Кривая задана в параметрическом виде,
следовательно, вычислим длину дуги по
формуле (20). Имеем:
и тогда
.
Следовательно,
.
Задание 3.
Вычислить
площадь поверхности сферы, образованной
вращением окружности
вокруг оси
.
Решение.
Разрешим уравнение окружности относительно
.
Пусть для определенности
.
Имеем:
;
;
.
Тогда
.
Задание 4.
Вычислить
объем шара,
образованного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной окружностью
.
Решение.
Из уравнения окружности имеем:
.
Воспользуемся теперь формулой (26),
положив
,
.
Тогда получим:
