1. Непосредственное интегрирование.

Отыскание неопределенного интеграла с помощью свойств неопределенных интегралов, таблицы основных интегралов и тождественных преобразований выражений называют непосредственным интегрированием.

2. Метод подстановки (замены переменной).

Пусть требуется вычислить интеграл , где функция определена на некотором промежутке . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где - новая переменная, - функция, определенная и непрерывно дифференцируемая на некотором промежутке . Тогда получим:

, (1)

причем после вычисления интеграла правой части (1) возвращаются к старой переменной обратной подстановкой .

Заметим, что функцию выбирают таким образом, чтобы интеграл в правой части равенства (1) оказался проще исходного и мог быть вычислен.

3.Метод интегрирования по частям.

Если функции и - дифференцируемые, то справедлива формула:

(2)

Заметим, что функции и выбирают таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы (2) оказался проще исходного. Иногда формулу интегрирования по частям (2) приходится применять несколько раз.

Интегрирование рациональных функций

Дроби вида и , где и , называют простейшими дробями соответственно 1 и 2 типов. Интегралы от простейших дробей вычисляются изложенными выше методами.

Интегрирование рациональных функций вида сводится к интегрированию простейших дробей. Возможны два случая:

1. Пусть - правильная рациональная функция, причем

,

и . Тогда дробь представима в виде суммы простейших дробей 1 и 2 типов:

2. Если исходная дробь - неправильная , то ее можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

.

Здесь - многочлен, дробь - правильная ( ). Выделение целой части дроби производится делением многочлена на многочлен (по правилу деления многочленов).

Таким образом, интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида .

Рассмотрим интеграл вида , где -рациональная функция своих аргументов. С помощью подстановки данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменной . Справедливы формулы:

.

Заметим, что подстановка является универсальной, так как дает возможность проинтегрировать любую функцию вида . Однако на практике иногда эта подстановка приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях удобнее использовать другие подстановки:

а) Пусть интеграл имеет вид или . Тогда соответственно применяется замена или , которая приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента .

б) Если подынтегральная функция имеет вид , но и содержатся только в четных степенях, то удобнее воспользоваться подстановкой , в результате которой получим интеграл от рациональной функции переменной .

в) Пусть . Тогда возможны 3 случая:

1) Пусть среди чисел и есть хотя бы одно нечетное число. Допустим, для определенности, что - нечетное, т.е. . Тогда, представив и положив , приходим к интегралу, который легко вычисляется.

2) Пусть числа и - четные и неотрицательные. Тогда с помощью формул и можно понизить степени синуса и косинуса под знаком интеграла: ;

3) Пусть оба показателя степени и четные, причем хотя бы один из них отрицателен. В этом случае следует сделать замену или , в результате которой придем к интегралу, который легко вычисляется.

2. Интегралы вида или .

Для вычисления данных интегралов используют подстановки или , которые приводят рассматриваемые интегралы к интегралам от рациональных функций нового аргумента .