Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Теоретические вопросы

1. Определение функции многих переменных.

2. Предел и непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.

4. Дифференциал функции.

5. Производная по направлению. Градиент.

6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

7. Экстремум функции нескольких переменных.

Литература

1. Пискунов н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.

2. Щипачев в.С. Высшая математика. М.: Высш. Шк., 1990.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1998. Ч. 1,2.

1. Основные понятия

Пусть - произвольное множество точек n - мерного арифметического пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что на множестве задана функция от n переменных . Множество называется областью определения, а множество - областью значений функции . В частном случае, если n=2, имеем функцию двух переменных: .

2. Предел и непрерывность функции

Число называется пределом функции при , если для любого числа найдется такая - окрестность точки : , что для любой точки из этой окрестности имеет место неравенство: .

Записывают этот факт следующим образом:

. (1)

Заметим, что свойства пределов и действия над пределами для функции многих переменных аналогичны свойствам пределов и действиям над пределами для функции одной переменной.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) ;

2) . (2)

Свойства непрерывных функций многих переменных и действия над непрерывными функциями многих переменных аналогичны свойствам непрерывных функции одной переменной и действиям над непрерывными функциями одной переменной.

Точка называется точкой разрыва непрерывности функции , если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. если нарушено хотя бы одно из условий определения непрерывности.

3. Частные производные. Дифференциал функции

Частной производной функции по переменной в точке называется предел:

, (3)

где - приращение аргумента . Аналогично определяется частная производная функции по переменной в точке :

, (4)

где - приращение аргумента . Частные производные функции по переменной обозначают различными способами, например:

Аналогично частные производные функции по переменной обозначают следующим образом:

Заметим, что в силу определения частной производной все правила и формулы дифференцирования, введенные для функции одной переменной, сохраняются. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Частные производные и функции также являются функциями двух переменных и . Поэтому эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка исходной функции и обозначаются следующим образом:

- вторая частная производная функции по переменной ;

- вторая частная производная функции по переменной ;

- смешанные производные второго порядка функции .

Выражение

называется полным приращением функции в точке , а выражение

- полным дифференциалом функции .

Аналогичные формулы имеют место и для функции трех переменных .

Задание. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:

.

Решение. Найдем соответствующие частные производные, входящие в данное уравнение:

Подставим полученные значения частных производных второго порядка от функции в исходное уравнение. Получим:

.

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.