3.6. Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии в двигателе с последовательным возбуждением

Принципиальная схема включения двигателя постоянного тока с последовательным возбуждением, учитывающая воз­можное введение в его цепь якоря добавочного резистора R_добпредставлена на рис. 3.15, а. Соответствующая ей схема модели преобразователя может быть получена аналогично схеме модели преобразователя для двигателя с независимым возбуждением при включении обмотки возбуждения последо­вательно в цепь якоря (рис. 3.15,б).

Включение обмотки возбуждения в силовую цепь, мощ­ность которой на два порядка выше, чем мощность возбуж­дения, создает условия для форсированного изменения потока двигателя, при этом анализ динамических свойств электромеханического преобразователя без учета влияния вихревых токов, наводящихся в полюсах и станине при быстрых изме­нениях потока, приводит в большинстве случаев к значитель­ным ошибкам. В первом приближении влияние вихревых токов может быть учтено добавлением короткозамкнутой об­мотки на оси β,показанной на рис. 3.15,б, имеющей условное число витковω_в.т, обтекаемой токомi_в,ти связанной с пото­ком машины Φпо продольной оси βкоэффициентом связи, равным единице. С учетом этой фиктивной обмотки матема­тическое описание динамического процесса преобразования энергии в двигателе с последовательным возбуждением имеет следующий вид:

(3.50)

где

Индуктивность рассеяния якорной цепи L_ЯΣзначительно меньше, чем индуктивность обмотки возбуждения, связанной с главным потоком двигателя, поэтому ею в ряде случаев можно пренебречь. Однако такое допущение вносит принци­пиальное искажение в характер процессов, так как приL_ЯΣ=0 ток двигателя при изменениях скачком приложенного напря­жения приобретает возможность изменяться скачком.

Рис. 3.15. Схема двигателя постоянного тока с последовательным возбуждением (а)и соединение обмоток обобщенной машины для получения модели (б)

Рис. 3.16. Характеристика намагничивания Φ(I_В)

Положив для статическою режима в (3.50) di/dt=dФ/dt= 0, получимi_в,т=0 и преобразуем эту систему в уравнения статических характеристик двигателя, по форме совпадающие с аналогичными для двигателя с независимым возбуждением:

(3.51)

(3.52)

Очевидным отличием их является зависимость потока дви­гателя от тока якоря. Характеристика намагничивания Φ=f(I_я) показана на рис. 3.16 (кривая 1) и свидетельствует о том, что магнитная цепь двигателя при номинальном токе якоря насыщена. В связи с этим в дальнейшем для анализа формы статических характеристик двигателя используется аппроксимация характеристики намагничивания двумя прямы­ми, как это выполнено на рис. 3.16 (ломаная 2). ПриI_я<I_ГРФ=k_Ф·I_я, а приI_я I_грмагнитный поток машины принимается примерно постоянным: Φ=Ф_нас=const.

3.7. Статические характеристики двигателя с последовательным возбуждением

При принятой аппроксимации кривой намагничивания (рис. 3.16) механическая и электромеханическая характеристики (3.51) и (3.52) при различных токах якоря имеют различные выражения. При I_Я <I_гр k_Ф=constи эти уравнения преобра­зуются к виду

(3.53)

(3.54)

При I_Я >I_гр Φ=Ф_нас⁼const и те же уравнения записы­ваются так:

(3.55)

(3.56)

Уравнения (3.53) и (3.54) свидетельствуют о том, что в об­ласти нагрузок, меньших номинальной, статические характеристики двигателя с последовательным возбуждением имеют гиперболический характер и при Μ→0 иI_я→0 асимптоти­чески приближаются к оси ординат. Эта форма характеристи­ки определяется условиями электрического равновесия маши­ны: при идеальном холостом ходе (I_я=0) ЭДС двигателя должна уравновешивать приложенное к якорной цепи напря­жениеU_я. Так как при I_Я→0 поток Φтакже стремится к нулю, выполнение условия

возможно только при неограниченном возрастании скорости. Реально скорость идеального холостого хода двигателя с последовательным возбуждением благодаря наличию остаточ­ного потока Ф_остограничена значением ω₀=I_я/Ф_ост. Однако поток Ф_остмал, и значение ω₀намного превышает допусти­мое для двигателя по условиям механической прочности. Поэтому при проектировании и эксплуатации электроприводов с двигателями последовательного возбуждения необходимо исключить возможность их работы с малыми нагрузками, при которых скорость двигателя может превысить допустимую по условиям механической прочности.

При I_я>I_грмагнитная цепь машины насыщается и при принятом допущении Φ=Ф_нас=const. В этой области харак­теристики двигателя практически линейны, подобно аналогич­ным характеристикам двигателя с независимым возбуждением.

Естественные характеристики двигателя с последовательным возбуждением показаны на рис. 3.17, а, б.Сильная положитель­ная связь по току, создаваемая последовательной обмоткой двигателя, практически устраняет влияние размагничивающею действия реакции якоря и приводит в области допустимой перегрузки к возрастанию потока сверх номинального значения на 10-15%. Поэтому при том же коэффициенте допус­тимойnepeгрузки по току λ_I=2÷2,5 перегрузочная способность по моменту у двигателей с последовательным возбуж­дением выше, чем при независимом возбуждении, и лежит в пределах λ=2,5÷3.

Рис. 3.17. Механические (а)и электромеханические (о) статические характеристики двигателя с последовательным возбуждением

Форма естественной механической характеристики определяет область применения двигателя с последовательным возбуж­дением. Он наиболее часто применяется в электроприводе механизмов, для которых желательно, чтобы по мере сниже­ния нагрузки до минимальной скорость движения возрастала в 1,5÷2 раза, обеспечивая соответствующее повышение произ­водительности при данной мощности двигателя. При этом важ­ным достоинством двигателя является повышенная перегрузоч­ная способность.

В связи с нелинейностью кривой намагничивания рассчи­тать естественные характеристики двигателя с последователь­ным возбуждением только по его номинальным данным не представляется возможным. Поэтому в каталогах приводятся естественные характеристики ω=f(I_я) и М=f(I_я), которые и следует использовать при проектировании электроприводов с двигателями последовательного и смешанного возбуждения. Для ориентировочных или учебных расчетов можно пользо­ваться универсальными характеристиками, приведенными в примере 3.4.

Статическая жесткость механической характеристики двига­теля с последовательным возбуждением зависит от нагрузки. При малых нагрузках двигатель имеет мягкую характеристику, с возрастанием нагрузки модуль жесткости увеличивается и при Μ>М_номстремится к постоянному значению, которое определяется (3.55):

Соответственно введение добавочных сопротивлении умень­шает жесткость механических характеристик. Реостатные ме­ханические и электромеханические характеристики показаны на рис. 3.17, я, о вместе с естественными характеристиками, соот­ветствующими R_ДОБ=0. Рассматривая этот рисунок, можно установить, что введение сопротивлений в цепь якоря позво­ляет ограничивать момент и ток короткого замыкания дви­гателя.

Статические характеристики двигателя, соответствующие различным значениям напряжения питания, приведены на рис. 3.18. Их вид свидетельствует о том, что уменьшение напряжения приводит к снижению скорости при данной нагрузке без изменения соответствующей этой нагрузке жест­кости механической характеристики.

Механическая характеристика при U_я=0 соответствует ре­жиму динамического торможения двигателя при замкнутой на­коротко его якорной цепи. В данном случае торможение протекает при самовозбуждении, поэтому его особенности заслуживают дополнительного рассмотрения.

В общем случае при питании двигателя от сети с посто­янным напряжением U_я=U_номдля осуществления режима динамического торможения его якорная цепь отключается от сети и замыкается на внешний резисторR_доб(рис. 3.19,а). Если с помощью внешнего источника механической энергии (например, при наличии движущей активной нагрузки) при­вести якорь двигателя во вращение, то при выполнении определенных условий двигатель самовозбуждается и развивает зависящий от скорости тормозной момент.

Первым условием самовозбуждения является наличие ос­таточного потока такого знака, чтобы при данном направ­лении вращения ЭДС, наводимая остаточным потоком, выз­вала ток возбуждения, увеличивающий поток двигателя. Если двигатель работал в двигательном режиме при ω> 0, то его ЭДС в режиме торможения при ω> 0 создает ток, направ­ленный противоположно току якоря в предшествующем ре­жиме, Этот ток, протекая по обмотке возбуждения, создает МДС, уменьшающую поток остаточного намагничивания, и самовозбуждение исключается. Если при этом изменить направление вращения (ω< 0), двигатель самовозбудится, по­этому характеристика на рис. 3.18 приU_я=0 существует только в четвертом квадранте. Обеспечить торможение во втором квадранте можно, переключив либо выводы якоря, либо выводы обмотки возбуждения.

Второе условие самовозбуждения поясняет рис. 3.19, б.

Здесь приведен ряд зависи­мостей E(I_Я),соответствую­щих различной скорости дви­жения якоря. Если восполь­зоваться кусочно-линейной аппроксимацией кривой на­магничивания, показанной на рис. 3.16, зависимости Е(I_я) приближенно линеаризуются, причем приI_я>I_грЭДС принимается приближенно постоян­ной. На рис. 3.19,б показана также прямаяI_я=f(E)=Е/R_ЯΣ.

Известно, что при самовозбуждении E(I_Я)=I_Я(Е), и второе условие самовозбуждения графически выражается наличием точки пересечения этих характеристик. Это условие на рис. 3.19,б выполняется только при ω>ω₂, причем граничное значение скорости ω_ГР≈ω₃. Таким образом, самовозбуждение может наступить только после достижения скорости ω_гр, при которой наклон линейной части характеристики Е(I_я) совпадает с накло­ном прямойI_я=E/R_ЯΣ. Следовательно, при увеличении суммар­ного сопротивления цепи якоря самовозбуждение наступает при более высоких скоростях ω_гр.

Рис. 3.18. Характеристики дви­гателя постоянного тока после­довательного возбуждения при различных напряжениях питания U_Я

Изложенные соображения позволяют установить форму ха­рактеристики динамического торможения с самовозбуждением, показанную на рис. 3.19, в.При ωω_грсамовозбуждение отсутствует иI_я≈0. При ω=ω_грдвигатель самовозбужда­ется, ток якоря при принятой аппроксимации возрастает до

Рис. 3.19. Динамическое торможение с самовозбуждением двигателя с последовательным возбуждением

I_Я=I_ГРи при дальнейшем увеличении скорости двигатель имеет линейную характеристику ω(I_я), соответствующую Φ=Ф_нас≈const. Поэтому при принятой идеализации электро­механическая характеристика при динамическом торможении с самовозбуждением имеет вид ломаной 1 на рис. 3.19,в.

В связи с наличием остаточного потока Ф_остток приω<ω_ГР,несколько возрастает, а реальная форма кривой на­магничивания приводит к дополнительным отклонениям фак­тической кривой ω(I_я) (кривая 2 на рис. 3.19, в)от при­ближенной кривой 1. Форма механической характеристики в этом режиме аналогична форме электромеханической ха­рактеристики 2. В этом можно убедиться, рассмотрев приведенные на рис. 3.19,гмеханические характеристики дина­мического торможения с самовозбуждением при различных добавочных сопротивлениях в цепи якоря.

3.8. Динамические свойства электромеханического преобразователя с последовательным возбуждением

Полученное в § 36 математическое описание процессов элек­тромеханического преобразования энергии в двигателе с последовательным возбуждением содержит произведения переменных, поэтому использовать его для анализа динамических свойств преобразова­теля мои но лишь с помощью ЭВМ. Однако общие закономер­ности, основные динамические свойства электромеханического преобразователя с последовательным возбуждением могут быть выяв­лены аналитическим путем, если осуществить линеаризацию урав­нений механической характеристики (3.50) в окрестности точки ста­тического равновесия.

Так как линеаризация осуществляется в окрестности точки ста­тического равновесия, кривою намагничивания следует аппроксими­ровать касательной в точке I_Я, Ф, как показано на рис 3.22, при этом Φ=Ф₀+k_Ф(i_Я+i_в.т) и первые два уравнения системы (3.50) могут быть преобразованы к виду

постоянные времени соответственно эквивалентного контура вихре­вых токов (см рис 315,6) и обмотки возбуждения Вычтя почленно из первого уравнения второе, получим более удобный для решения вид системы (3.50):

(3.57)

Рис 3 22 Линеаризация кри­вой намагничивания

Линеаризуем систему (3.57) путем разложения в ряд Тэйлора в окрестности точки статического равновесия, обозначимd/dt=p, получим

(3.58)

Решив систему (358) относительно Δi_Яи ΔΜ,получим ли­неаризованные уравнения электромеханической и механической ха­рактеристик двигателя в виде

(359)

(360)

Уравнения (3 59) и (3 60) характеризуют основные динамические особенности преобразователя с последовательным возбуждением при условии ограничения отклонения переменных от точки статического равновесия узкими пределами. Сравнивая их, можно установить, что наличие контура вихревых токов определяет более значитель­ные колебания тока чем момента при тех же условиях. Это раз­личие существенно усиливается, если не учитывать индуктивности рассеяния якорной цепи положив Т_Я=0. При этом порядок числителя и порядок знаменателя (3.59) становятся одинаковыми что свидетельствует о возможности изменения тока якоря скачком и су­щественно искажает действительный характер процессов Поэтому во всех случаях когда ставится задача оценки характера изме­нения тока и его значения в том или ином динамическом ре­жиме следует пользоваться уравнением (359), не прибегая к до­полнительным упрощениям.

Структурная схема линеаризованного электромеханического пре­образователя с последовательным возбуждением, соответствующая (3.60), представлена на рис 3 23 С помощью этой схемы определим передаточную функцию динамической жесткости механической ха­рактеристики:

(3.61)

Рис. 3.23. Структурная схема линеаризованного ЭМП

с последова­тельным возбуждением

Уравнение (3.61) свидетельствует о том, что динамическая жесткость в данном случае существенно зависит от положения точки статического равновесия на механической характеристике дви­гателя При этом следует иметь в виду что каждой точке стати­ческой характеристики соответствуют не только различные значения Ф°, I_Я, ω°,но также и различные значения таких параметров, какT_BΣи k`<sub>Ф</sub>.При уменьшении момента двигателя по сравнению с номинальным (М° < М<sub>ном</sub>) коэффициентk`_Фвозрастает и при уменьшении потока до значений, соответствующих линейной части кривой намагничивания, становится равным коэффициентуk`_Ф.MAX=k_ф[см рис 3.16 и формулы (3.53) и (3.54)].

При дальнейшем умень­шении момента и потока k`<sub>Ф</sub>остается постоянным, соответственно максимально и постоянно значениеT<sub>ВΣ</sub>. В области перегрузок(M°> Мном) магнитная цепь двигателя насыщается, соответственноk`_Ф и T_BΣ принимают достаточно малые значения.

Если учесть, что Т_Яи Т_в.тприI_Я° < I_НОМнамного меньше, чем Т_ВΣ, и их произведение в (3.61) можно приближенно при­нять равным нулю, то для приближенных оценок получаем удоб­ную формулу

(362)

где модуль статической жесткости;

эквивалентная электромагнитная постоянная якорной цепи двигателя

Формула (3.62) аналогична по форме формуле динамической жесткости двигателя с независимым возбуждением (3.44), но по существу отличается непостоянством модуля и эквивалентной элек­тромагнитной постоянной в различных точках статической характе­ристики при I°_я <I_ном. Если магнитная цепь двигателя ненасыщен­на, то естьk`<sub>Ф</sub>·I<sub>Я</sub>=k<sub>Ф</sub>=const, то k`_Ф·I_Я= Ф°, и модуль статической жест­кости определяется соотношением

из которого следует, что с уменьшением нагрузки статическая жест­кость механической характеристики уменьшается весьма быстро как из-за уменьшения потока Ф°, так из-за возрастания скорости ω° Модуль динамической жесткости при этом дополнительно снижа­ется за счет электромагнитной инерции, характеризуемой постоянной времени Т_Э, так же как и у двигателя с независимым возбуж­дением При сопоставлении необходимо иметь в виду, что суммаТ_ВΣ + Т_Япри ненасыщенной машине намного превосходит значе­ние Т_Ядля двигателя с независимым возбуждением, но включение обмотки возбуждения в силовую цепь приводит к тому, что Т_Э, зависит от скорости ω°и существенно снижается при увеличении скорости. В области насыщения приI_Я >I_номk`_Ф≈0 и Т_ВΣстре­мится к значению, соответствующему индуктивности рассеяния об­мотки возбуждения, при этом β= k²Ф²/R_ЯΣи Т_Э=Т_Я=L_ЯΣ/R_ЯΣ, гдеL_ЯΣ- суммарная индуктивность рассеяния якорной цепи. Таким образом, в области перегрузок динамические свойства дви­гателя с последовательным возбуждением практически совпадают с рассмотренными выше свойствами двигателя с независимым воз­буждением.

Линеаризованные характеристики двигателя с последовательным возбуждением (3.59) и (3.60) могут быть использованы для ана­лиза установившихся колебательных режимов электромеханических систем с двигателем последовательного возбуждения, а также для проверки устойчивости и качества замкнутых систем регулирования с таким двигателем при малых отклонениях от положения ста­тического равновесия.