3.12. Динамические свойства асинхронного электромеханического преобразователя при питании от источника напряжения

Математическое описание динамических процессов преоб­разования энергии в § 3.10 было получено в предположе­нии, что двигатель получает питание от сети или от инди­видуального преобразователя, обладающего свойствами источ­ника напряжения, т. е. источника, напряжение которого при изменении тока нагрузки остается неизменным. Проведем с его помощью анализ динамических свойств асинхронного преобразователя, рассматривая его как объект управления. Как было показано, для реализации управления моментом и скоростью двигателя в широких пределах при благопри­ятных условиях необходимо изменять частоту подведенного напряжения, воздействуя на скорость поля и амплитуду напряжения, определяющую при данной частоте магнитный по­ток двигателя.

Анализ динамических процессов преобразования энергии в асинхронном двигателе представляет собой сложную за­дачу в связи с существенной нелинейностью уравнений (3.64) и (3.68), обусловленной наличием произведений переменных. Исследование динамических процессов при широких пределах изменения скорости целесообразно вести с применением вычис­лительной техники. Для этих целей удобную форму матема­тического описания дает (3.68), если решить каждое уравнение относительно производной потокосцепления и записать:

(3.86)

Структурная схема электромеханического преобразования энергии в асинхронном двигателе при питании от источника напряжения представлена на рис. 3.36. Рассматривая ее, можно видеть два управляющих воздействия: ω_0эл., и ₁,определя­ющих при данной скорости ротора ωизменения электромаг­нитного момента двигателя М. Для обеспечения определенных условий протекания процессов между изменениями ω_0эл, и₁ должна устанавливаться взаимосвязь, которую называют законами частотного управления.

Аналитические оценки динамических свойств асинхронного электромеханического преобразователя могут быть получены для режимов малых отклонений скорости от статического значения путем разложения (3.86) в ряд Тэйлора. В частности, таким путем устанавливаются динамические свойства пре­образователя в области рабочего участка механической ха­рактеристики S<S_Kв режимах, когда магнитный поток ма­шины изменяется незначительно.

Рис. 3.36. Структурная схема электромеханического преобразования энергии в асинхронном двигателе

Здесь рассматривается динамический режим работы дви­гателя, имеющий место по истечении времени после под­ключения к источнику переменного напряжения, достаточного для затухания свободных составляющих, обусловленных пе­реходным процессом включения. При этом предполагается, что отклонения скорости от значения, определяемого стати­ческой характеристикой, малы, а изменения токов не вызывают существенных изменений потокосцепления статора Ψ ι.

Для этих условий, положив d/dt=0, с помощью (3.64) можно определить потокосцепление статора по формуле

(3.87)

Следовательно, при питании от источника напряжения при неизменной частоте ω_0эл=constизменения ₁вызываются только изменениями падения напряжения на активном сопро­тивлении статораR₁.Если принятьR₁≈0, то при неизмен­ной частоте постоянство ₁обеспечивает постоянство пото-косцепления в широких пределах изменения скорости. При изменениях частоты f₁иR₁≈0 для поддержания посто­янным ₁достаточно изменять напряжение пропорционально частоте:

(3.88)

Соотношение (3.88) определяет закон частотного управления U₁/f₁=const.

Пусть к обмоткам статора обобщенной машины прило­жена система синусоидальных напряжений, которым соответ­ствует изображающий вектор ₁совпадающий по направлению с осью х, т.е. в осяхх, у

Тогда в соответствии с (3.88)

Таким образом, для рассматриваемых условий процессы электромеханического преобразования в асинхронном двига­теле описываются тремя последними уравнениями системы (3.86).

Выполним вспомогательные преобразования:

Здесь индексом «н» обозначено, что индуктивные сопро­тивления Χ_1Н,Χ_2Н, Χ_3Нсоответствуют номинальной частоте сети ω_0эл.ном; учтено, что при Х_μн>X_1H;Sк определено из (3.77) приR₁=0. С учетом полученных значений Ψ_1Xи Ψ_1Yу и послед­него соотношения три указанных уравнения системы (3.86) запишутся в виде

(3.89)

здесь — электромагнитная постоянная времени;

- абсолютное скольже­ние, равное отношению отклонения скорости двигателя ωот скорости поля ω₀при любой частоте f₁к скорости поляω_0номпри частотеf_1ном.

Положим d/dt=ρи произведем преобразования алгебраизированных уравнений (3.89), имея в виду, что эти уравнения нелинейны и поэтому допустимы только такие их преобразо­вания, при которых строго сохраняется предусмотренный исходными уравнениями порядок дифференцирования перемен­ных. С этой целью вначале из первого уравнения определимΨ_2Y:

(3.90)

Подставив (3.90) во второе уравнение системы (3.89) с соблю­дением получающегося порядка дифференцирования перемен­ных, получим

(3.91)

Подстановка (3.91) в третье уравнение системы (3.89) дает искомое выражение механической характеристики:

(3.92)

В последней записи критического момента М_Кпроизведен переход от максимального напряженияU_1MAXдвухфазной мо­дели двигателя к реальному действующему значению напря­жения на фазе трехфазного двигателя U₁.По формуле (2.37)

Кроме того, учтено, что х_μН>х_1Ни х_μН>> х`_2Н.Нетрудно убедиться, что полученное значение М_Ксовпадает с опреде­ляемым по (3.78) приR₁=0и ω₀= ω_0ном. Таким образом, полученное приближенное уравнение механической характеристики в качестве частного случая статического режима ра­боты (р = 0) дает уравнение статической механической харак­теристики (3.79) приR₁≈0. Однако оно выражено в функции абсолютного скольженияs_a:

(3.93)

поэтому не только приближенно описывает естественную ха­рактеристику двигателя (ω₀=ω_0ном) но и определяет искусствен­ные механические характеристики двигателя, соответствующие различной частоте питающего напряженияf₁при изменении напряжения по закону U₁/f₁=const. Как следует из (3.93) и выражения М_Кв (3.92), при R₁=0механические характе­ристики инвариантны относительно абсолютного скольженияs_a и представляются зависимостями ω=f(M), показанными для различных частот пунктирными кривыми на рис. 3.37. Реаль­но в (3.87) можно пренебрегатьR₁только при частотах, близких к номинальной, при этомU₁=U_1ном>>I₁·R₁. При снижении частоты и напряжения по законуU₁/f₁=const, как показывает (3.87), потокосцепление Ψ ιдолжно снижаться, стремясь к 0 приf₁→0. Соответственно с учетомR₁≠0 реальные механические характеристики при таком законе управления имеют снижающийся при малых частотах критический момент (см. сплошное кривые на рис. 3.37). По этой причине в ре­альных системах используются более сложные законы частот­ного управления, рассматриваемые в гл. 6.

Уравнение механической характеристики (3.92) отражает вли­яние электромагнитной инерции на протекание динамических процессов электромеханического преобразования энергии при ограниченных по амплитуде колебаниях в окрестностях точек статической характеристики. Для анализа этого влияния осу­ществим линеаризацию этого уравнения. Вначале необходимо выполнить операции дифференцирования в последовательности, полученной при выводе (3.92):

После дифференцирования получим

Раскладываем полученное уравнение в ряд Тэйлора в ок­рестности точки М°, s_a°,пренебрегая членами высшего порядка малости. После преобразований уравнение механической ха­рактеристики представляется в виде

(3.94)

Уравнение (3.94) позволяет анализировать модуль стати­ческой жесткости линеаризованной механической характеристи­ки и влияние электромагнитной инерции при линеаризации в любой точке статической механической характеристики M°=f(s_a°). Наибольший интерес представляет линеаризован­ное уравнение механической характеристики для рабочего участкаs_а<s_к. Такое уравнение получим с помощью (3.94), положив S°a=0, ΔSа=Sа-Sa=Sа=(ω₀- ω)/ω_ном; ΔΜ= Μ-Μ° =Μ:

Рис. 3.37. Механические харак­теристики асинхронного двига­теля при питании от источника напряжения при f₁=var

Рис. 3.38. Структурная схема линеаризованного асинхронного электромеханического преобразователя

Следовательно, в окрестности точки М°=0, S°a=0 электро­механический преобразователь представляется звеном первого порядка, так как его уравнение механической характеристики имеет вид

(3.95)

где β= 2М_К/ω_0номS_к— модуль жесткости линеаризованной меха­нической характеристики.

Структурная схема асинхронного электромеханического пре­образователя, линеаризованного в пределах рабочего участка статической механической характеристики, представлена на рис. 3.38.

Передаточная функция динамической жесткости в соответ­ствии с этой схемой запишется так:

(3.96)

Сравнивая (3.95) и (3.96) с аналогичными формулами для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, можно заключить, что в пределах рабочего участка асинхрон­ный двигатель имеет динамические свойства, аналогичные динамическим свойствам двигателя с независимым возбужде­нием.

Так как критическое скольжение двигателей лежит в пре­делах Sк=0,05÷0,5, причем меньшие значения соответствуют мощным двигателям, электромагнитная постоянная двигателя Т_Эпри питании от источника напряжения невелика:

меньшие значения соответствуют двигателям малой мощности.

3.13. Статические характеристики и динамические свойства асинхронного электромеханического преобразователя при питании от источника тока

В связи с развитием регулируемого асинхронного электро­привода с частотным управлением значительный практический интерес представляет изучение свойств асинхронного электро­механического преобразователя при питании от источника тока. Это обусловлено тем, что значительная часть используемых преобразователей частоты обладает свойствами источника тока, т. е. формирует в фазах двигателя токи, которые не зависят от режима работы и параметров двигателя, а опре­деляются только сигналом задания. Схема включения двига­теля для этого случая показана на рис. 3.39. В этой схеме двигатель получает питание от трехфазного источника тока. Значение тока определяется напряжением задания тока u_з.т а частота — напряжениемu_з.ч.

Следует заметить, что режимы работы, соответствующие питанию от источника тока, имеют место и в электроприво­дах, получающих питание от сети. Важным и широко исполь­зуемым на практике примером является режим динамического торможения асинхронного двигателя при питании его обмотки статора постоянным током.

Так как в схеме рис. 3.39 обмотки статора питаются неизменным током, уравнения механической характеристики (3.64) запишутся в виде

(3.97)

Потокосцепления в (3.97) могут быть выражены через токи:

(3.98)

Подставив в уравнение для обмотки 2х выражения потокосцеплений (3.98), определим ток фазы 2у:

(3.99)

где S_K1=R`<sub>2</sub>/(x<sub>μН</sub>+x`_2Н) - критическое скольжение в режиме пи­тания от источника тока,

Т_Э1=L₂/R`₂=1/ω_0эл.ном·S_к1- электро­магнитная постоянная двигателя при питании от источника тока.

Система (3.97) нелинейна, поэтому при преобразованиях необходимо соблюдать условия, отмеченные в § 3.12. Подста­вим (3.99) в уравнение для обмотки 2у и с соблюдением ука­занных условий преобразований разрешим его относительно тока фазы 2x:

(3.100)

Искомое уравнение механической характеристики асинхрон­ного электромеханического преобразователя при питании от источника тока получим, подставив (3.100) в последнее урав­нение системы (3.97):

(3.101)

здесь М_К1 -критический момент при питании от источника тока. В переменных двухфазной модели он получен в виде

(3.102)

Уравнение критического момента для трехфазной машины получим, заменив максимальное значение тока двухфазной модели I_1MAXдействующим значением тока фазы трехфазного двигателя I₁с помощью формулы (2.37):

Выполнив эту замену в (3.102), получим

(3.103)

Рис.3.39. Схема питания асин­хронного двигателя от источни­ка тока

Проведем анализ статических характеристик для случая питания асинхронного двигателя от источника тока. Уравнения электрического равновесия (3.72) для этого режима принимают вид

(3.104)

Схема замещения фазы двигателя при питании от источ­ника тока, соответствующая (3.104), приведена на рис. 3.40, а, а векторная диаграмма для этого режима работы — на рис. 3.40, б. С помощью схемы замещения получим выражения для тока ротора I`₂и намагничивающего тока Ιμ:

(3.105)

(3.106)

Уравнения (3.105) и (3.106) получены по схеме замещения (рис. 3.40, а) с помощью известного правила определения тока параллельной ветви по общему току. ЗависимостиI`<sub>2</sub>=f(s<sub>а</sub>) иI<sub>μ</sub>=f(S<sub>а</sub>), соответствующие этим выражениям, приведены на рис. 3.41, а. Они свидетельствуют о том, что при увеличении скольжения ток ротораI`₂монотонно возрастает, стремясь к предельному значению

(3.107)

В то же время намагничивающий ток, который при S_a=0 равен току I₁,с увеличением тока ротора непрерывно умень­шается, стремясь к значению

(3.108)

Рис. 3.40. Схема замещения фазы (а)и векторная диаграмма(б)для режима питания, асинхронного двигателя от источника тока

Так как x`_2н<< x_μн, токI_μ.предвесьма мал. Отсюда следует важный вывод, что при питании от источника тока вследствие размагничивающего действия тока ротора ток I_μи магнитный поток машины Φ_μизменяются при изменениях скольженияs_а, в широких пределах.

Установленная закономерность является важным отличием режима питания от источника тока от режима питания от источника напряжения. В последнем случае в соответствии со схемой замещения на рис. 3.27, априU₁=constнамагни­чивающий ток примерно постоянен, так как изменяется только в связи с изменениями падения напряжения на сопротивлениях статора, которые невелики. При этом размагничивающее дей­ствие тока ротора компенсируется соответствующими измене­ниями тока статора (см. рис. 3.30,б). В режиме питания от источника токаI₁=constи размагничивающее действие тока ротора проявляется полностью.

Как следствие, при анализе характеристик асинхронного двигателя в режиме питания от источника тока необходимо учитывать влияние насыщения магнитной цепи двигателя. Кри­вая намагничивания представлена на рис. 3.41,б, там же построена кривая Χ_μ=f(I_μ),соответствующая данной кривой намагничивания. Для анализа формы статических характе­ристик с приближенным учетом насыщения характеристикаΦμ=f(I_μ)аппроксимирована двумя прямыми. При I_μ<I_μНАС магнитная цепь машины ненасыщена и Χ_μ=X_μН=const (пря­мая 1).Если I_μ>I_μНАСнасыщение сказывается существенно и приближенно можно принять Φμ=Φ_μНАС=const (прямая 2 на рис. 3.41, б).

Так как I_μ  I₁,то приI₁ I_μ.насмагнитная цепь двигателя при любых скольжениях не насыщается и Χ_μН=const.

Рис.3.41. ЗависимостиI`₂,Iμ(S_a) и Φ_μ(I_μ)для режима питания асинхронного двигателя от источника тока

В этой области значений I₁, статические механические характеристики двигателя описываются уравнением (3.101) при р=0:

(3.109)

где

На рис 3.42, а представлено семейство характеристик ω=f(М), соответствующих ряду значений частотыf₁при I₁I_μНАС. Так как зависимостьM=f(S_a) (3.109) инвариантна относительно частоты, то при измененииf₁изменяется только скорость идеального холостого хода ω₀=2πf₁/ρ_П,а форма механических характеристик относительно этой точки не пре­терпевает изменений. Особенностью этих характеристик явля­ется малость критического скольженияS_К1по сравнению сS_K соответствующим питанию от источника напряжения, обуслов­ленная тем, что . Однако при невелико и значение М_К1.Поэтому для получения требуемой перегру­зочной способности, аналогичной перегрузочной способности на естественной характеристике, в режиме питания от источ­ника тока необходимо выбирать значения I₁,превышающиеI_μНАСв несколько раз.

При I₁>>I_μНАС,и идеальном холостом ходе магнитная цепь машины находится в глубоком насыщении, поэтому при малых значенияхS_aможно без большой погрешности принять Φ_μ=Ф_μНАС=const. С ростом скольжения намагничивающий токIμуменьшается, однако в соответствии с принятой аппрокси­мацией до значенияS_a=S_a.гр, при котором I_μ=I_μНАСнасыще­ние сохраняется. В области больших скольжений (S_a>S_а.гр), как показано на рис. 3.41, а, ток Iμ < Iμ.нас, Xμвозрастает и прибли­женно может быть принято равным Xμн (рис 341, б).

Рис. 3.42 Механические характеристики асин­хронного двигателя при питании от источника тока

Отсюда следует, что при I₁>>I_насв областиS_a<S_а.грре­альная форма кривой ω=f(Μ)в значительной мере откло­няется от определяемой (3.109), а при больших скольжениях (S_а>S_a.гр) магнитная цепь размагничивается током ротора и реальная механическая характеристика сближается с рассчиты­ваемой по (3.109).

Принятая аппроксимация кривой намагничивания позволяет приближенно оценить вид механической характеристики при насыщении, которое соответствует области малых скольжений, т, е. рабочему ее участку. При насыщении Фμ=Фμнас=constи ЭДСE`<sub>2</sub> достигает значений, близких кU<sub>1НОМ</sub>. Сучетом этого для режима насыщения можно принять Е`₂=U_1НОМ=const и представить (3.109) в виде

(3.110)

где

Следовательно, насыщение смещает максимум момента в область больших скольжений, так как S_К1.НАС>S_K1.

Проведенный анализ влияния насыщения позволяет предста­вить реальную форму механических характеристик при раз­личных значениях I₁.На рис. 3.42, б приведены механические характеристики 1-3, соответствующие токамI₁₁=Iμ.нас,I₁₂ >>Iμ.нас иI₁₃>I₁₂которые построены по (3.109) без учета насыщения. Там же показана механическая характеристика4 для насыщенного состояния магнитной цепи, определяемая (3.110). Реальные механические характеристики (кривые 5—7) в области насыщения (Sa<Sа.rp) совпадают с кривой4,а при отсутствии насыщения (Sa>Sа.rp) приближаются к соответ­ствующим кривым1—3.

Граничное скольжение Sa.rpприIг=I₁₁равно нулю и с возрастанием тока I₁увеличивается. Соответственно приI₁₁=Iμ.нас магнитная цепь машины не насыщается при любых скольжениях и кривая 1 сливается с соответствующей реаль­ной характеристикой 5. С увеличением I₁и возрастаниемSа.гр увеличивается зона, где механические характеристики совпадают с кривой4,а зона, в которой они совпадают с рассчитываемыми без учета насыщения, постепенно сокра­щается. Это, как видно на рис. 3.42, б, приводит к постепен­ному увеличению критического скольжения.

Сравнивая уравнение механической характеристики для ди­намических процессов (3.101) с уравнением (3.92), соответствую­щим питанию двигателя от источника напряжения, можно уста­новить, что они совпадают по форме и отличаются лишь выражениями критического момента и электромагнитной постоян­ной времени. Следовательно, выполнив линеаризацию урав­нения (3.101) в окрестности точки М°=0, Sа=0 аналогично линеаризации, выполненной для уравнения (3.92), получим приближенное линеаризованное уравнение механической харак­теристики в виде

(3.111)

где

Передаточная функция динамической жесткости

(3.111 а)

Структурная схема электромеханического преобразования энергии при питании от источника тока в соответствии с (3.111) совпадает с полученной выше схемой для питания от источника напряжения и приведенной на рис. 3.38. Однако динамические свойства в этих режимах существенно различны в связи с тем, что при питании от источника тока поток при I₁=constизменяется в широких пределах. Изменения главного потока машины при этом определяют существенно большую инерционность электромеханического преобразователя, чем при питании от источника напряжения. Действительно, сравнивая

можно убедиться, что Т_Э<< Т_Э1. С ростом тока статора вслед­ствие насыщения индуктивное сопротивление намагничиванияΧμн уменьшается, при этом уменьшается и электромагнитная постоянная Τ_Э1,стремясь при больших насыщениях к Т_Э.

В отличие от питания от источника напряжения при пита­нии от источника тока можно изменять частоту, не изменяя сигнала задания тока. Однако практически и в этом случае для обеспечения определенных условий протекания процессов электромеханического преобразования энергии задание тока в схеме рис. 3.39 изменяют в функции задания частоты по тем или иным законам частотного управления.