2. Задачи на определение расстояний

Решение этих задач сводится к определению расстояния между двумя точками: заданной точкой и ближайшей к ней точкой, принадлежащей геометрическому образу, или между двумя ближайшими точками заданных геометрических образов.

2.1. Определение расстояния от точки до другой точки

Расстояние от точки до другой точки измеряется длиной отрезка прямой, соединяющей эти точки, т. е. необходимо определить натуральную величину отрезка прямой линии. Решить эту задачу можно несколькими способами: способом прямоугольного треугольника, способом вращения, методом плоскопараллельного перемещения, методом замены плоскостей проекций. Если отрезок расположен параллельно какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость он проецируется в натуральную величину. Если же отрезок представлен прямой общего положения, то ни на одной из плоскостей проекций нельзя определить его истинную величину.

Задача 9. Найти натуральную величину отрезка прямой АВ общего положения способом прямоугольного треугольника.

Решение. Построим ортогональную проекцию отрезка общего положения АВ на горизонтальной плоскости проекций (рис. 12, а). В пространстве образуется треугольник А₁ВВ₁, в котором гипотенузой является сам отрезок, одним катетом – горизонтальная проекция этого отрезка, а вторым катетом – разность высот точек А и В отрезка.

По чертежу прямой определяем Δz точек ее отрезка и строим по горизонтальной проекции отрезка (рис. 12, б) прямоугольный треугольник. Гипотенуза этого треугольника будет натуральной величиной отрезка АВ. Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка. В качестве второго катета берем Δy (рис. 12, в) с плоскости П₁.

а б в

Рис. 12. Определение расстояния между точками

2.2. Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой можно определить одним из следующих способов:

1) прямым путем: провести через точку плоскость, перпендикулярную к прямой, найти пересечение заданной прямой с этой плоскостью и определить длину отрезка между точками – найденной и заданной;

2) вращением привести заданную систему в положение, когда заданная прямая перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, или плоскость, определяемая прямой и точкой, параллельна какой-либо плоскости проекций;

3) совмещением: найти один из следов плоскости, заданной прямой и точкой, и вращением около этого следа найти совмещенное положение точки и прямой;

4) вращением вокруг горизонтали или фронтали: провести через горизонталь (фронталь) плоскости, определяемой заданными элементами, плоскость R, параллельную горизонтальной (вертикальной) плоскости проекций, и вращением вокруг горизонтали (фронтали) найти совмещенное положение точки и прямой на этой плоскости;

5) заменой плоскостей проекций: заменить плоскости проекций новыми, чтобы одна из них была перпендикулярна заданной прямой или параллельна плоскости, определяемой прямой и точкой.

Задача 10. Определить расстояние от точки М до прямой АВ методом замены.

Рис. 13. Определение расстояния от точки до прямой

Решение. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком нормали, проведенной из точки к заданной прямой. Определим расстояние от точки М до плоскостей проекций прямой АВ (рис. 13).

1) П₂ П₁, П₁ П₄, П4 || А₄В₄, П₁/П₄ || A₁B₁;

2) А₄В₄ М₄К₄, П₅ AB, П₄/П₅ A₄B₄;

3) M₅K₅ – истинное расстояние от точки М до прямой AB.