И. Л. МЕДВЕДЕВА

РЕШЕНИЕ

МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ

ДИСЦИПЛИНЫ «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ОМСК 2007

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

__________________________

И. Л. Медведева

РЕШЕНИЕ

МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ

ДИСЦИПЛИНЫ «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к практическим занятиям

по начертательной геометрии для студентов первого курса

Омск 2007

УДК 514.182.2 (075.8)

ББК 22.151.34 я 73

М42

Решение метрических задач при изучении дисциплины «Начер-тательная геометрия»: Методические указания к практическим занятиям / И. Л. Медведева; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. 32 с.

Указания содержат сведения о способах решения группы метрических задач, которые рассматриваются на лабораторных и практических занятиях со студентами при изучении дисциплины «Начертательная геометрия».

Решение метрических задач требует производить расчеты, которые достаточно точно и быстро можно выполнить графическим методом. Метри-ческие задачи изучаются в «Начертательной геометрии» для углубленной проработки материала курса, для развития у студентов геометрической логики, пространственного и образного мышления, которые служат основой для изучения разделов физики, геометрии, механики, расчета сложных технических конструкций и т. д.

Предназначены для студентов первого курса очного и заочного обучения всех специальностей.

Библиогр.: 8 назв. Рис. 19.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. Ю. Юрков;

доктор техн. наук, профессор В. А. Николаев.

_______________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Общие сведения о метрических задачах. Методы преобразования комплексного чертежа как алгоритм решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Метод замены плоскостей проекций. Четыре основные задачи на преобразование чертежа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Метод плоскопараллельного перемещения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Способ вращения вокруг проецирующей прямой. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Способ вращения вокруг прямой уровня (способ совмещения). . . 1.3. Упражнения и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . 2. Задачи на определение расстояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Определение расстояния от точки до другой точки. . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Определение расстояния от точки до прямой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Определение расстояния от точки до плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Определение расстояния от точки до поверхности вращения. . . . . . 2.5. Определение расстояния между параллельными прямыми. . . . . . . . . 2.6. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми. . . . . . 2.7. Определение расстояния от прямой до параллельной ей плоскости. 2.8. Определение расстояния от прямой до поверхности. . . . . . . . . . . . . . 2.9. Определение расстояния от плоскости до параллельной ей плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Определение расстояния от плоскости до пересекающейся с ней поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Упражнения и задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Задачи на определение величины угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Определение величины угла между пересекающимися прямыми. . . 3.2. Определение величины угла между прямой общего положения и плоскостью общего положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Определение величины угла между прямой и поверхностью. . . . . . . 3.5. Определение величины угла между двумя пересекающимися плоскостями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Упражнения и задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 7 11 13 14 16 17 17 1820 21 22 23 23 23 23 24 24 26 26 27 28 28 28 29 31

Введение

Решение многих задач способами начертательной геометрии сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических объектов. Все задачи можно разделить на две группы: позиционные и метрические.

Решение позиционных задач должно давать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических объектов. К позиционным относятся задачи

на взаимопринадлежность (взять точку на линии, провести линию на поверхности, провести поверхность через данные линии и т. д.);

на взаимное расположение геометрических элементов на чертеже (условия параллельности двух прямых, прямой и плоскости и т. д.);

на пересечение различных геометрических образов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверх- ностей и т. д.).

При решении позиционных задач не учитываются метрические свойства фигур, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения.

При решении метрических (от греческих слов metron – мера, metreo – мерю) задач появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся метрики заданных геометрических объектов:

– определение расстояния между различными точками объекта;

– нахождение углов между линиями и поверхностями, принадлежа- щими объекту;

– определение расстояния между точками;

– определение величины углов между линиями и поверхностями, принадлежащими различным объектам.

Методические указания состоят из трех разделов. Раздел 1 представляет сведения о метрических задачах и алгоритмах их решения. Раздел 2 рассматривает задачи на определение расстояний между геометрическими объектами. Раздел 3 демонстрирует задачи на определение величины угла между геометрическими объектами. Каждый из разделов методических указаний завершается упражнениями и задачами для самостоятельного решения студентами. Рекомендуется выполнять сначала упражнения, являющиеся более простыми, а затем переходить к решению задач. Все упражнения и задачи могут быть успешно решены на базе теоретического материала, изложенного в данных методических указаниях.

1. Общие сведения о метрических задачах. Методы преобразования комплексного чертежа как алгоритм решения задач

Все метрические задачи можно объединить в три группы: определение расстояний, определение углов, определение величины части геометрического образа.

Первая группа задач включает в себя определение расстояний от точки до другой точки, прямой, плоскости, поверхности; от прямой до другой прямой, плоскости, поверхности; от плоскости до другой плоскости, поверхности; вторая группа – определение углов между пересекающимися и скрещивающимися прямыми; прямой и плоскостью, поверхностью; двумя плоскостями; третья группа – нахождение длины части линии (в том числе и отрезка); величины части плоскости (плоской фигуры) и части поверхности (развертки).

В данных методических указаниях рассматриваются примеры решения метрических задач первой и второй групп как наиболее часто встречающиеся при выполнении студентами лабораторных, практических и самостоятель- ных работ.

Алгоритмы решения всех метрических задач опираются на два инварианта ортогонального проецирования:

1) теорему (прямую и обратную) о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна ей, то прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой угол;

2) свойство любой плоской фигуры проецироваться без искажения в конгруэнтную фигуру на ту плоскость проекций, которая параллельна этой фигуре.

Решение метрических задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задаче, занимает частное положение. В подавляющем большинстве метрических задач участвуют прямые и плоскости. Следовательно, если заранее будет известно, какие построения необходимо выполнить, чтобы прямая или плоскость общего положения заняла частное положение (преобразование прямой общего положения в прямую уровня, преобразование прямой уровня в прямую проецирующую, преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость, преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня), то это значительно облегчит решение метрических задач.

Прямая и плоскость имеют по два частных положения, значит, должно быть четыре исходных задачи.

При решении метрических задач широко используют преобразования исходного чертежа. При этом под преобразованием чертежа понимают построения на чертеже, отображающие изменение геометрических образов или плос-костей проекций в пространстве и приводящие к образованию нового поля проекций.

Существует два принципиальных пути преобразования комплексного чертежа:

метод замены плоскостей проекций – перемещение плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура (которая не меняет положения в пространстве) окажется в частном положении;

метод плоскопараллельного перемещения – перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в прост-ранстве.