1. Математический аппарат гидродинамики. Краткие сведения из тензорного исчисления

1.1 Общие замечания о тензорах. Обозначение тензоров – индексные и символические

При описании течений и процессов в гидродинамике используются понятия трехмерного евклидова пространства с различными системами координат и классического времени, принимается ньютоновская модель пространства и времени, согласно которой трехмерное евклидово пространство равномерно скользит по оси времени. Напомним, что евклидовым называется пространство с операцией скалярного умножения – так, для вектора его скалярное произведение на единичный вектор (орт оси) дает проекцию вектора на эту ось. Выбор системы координат произволен и не должен сказываться на физических следствиях получаемых уравнений. Математические объекты, с помощью которых описываются физические явления, не должны зависеть от частного выбора системы координат, а физические законы должны выражаться через эти объекты математическими соотношениями, инвариантными относительно преобразований системы координат. Такими математическими объектами являются тензоры различных рангов, а физические законы и уравнения имеют вид тензорных соотношений [1-5, 9-14, 18, 19].

В дальнейшем буде использоваться, в основном, декартова прямоугольная система координат. Кроме того, будут применяться индексные обозначения компонент векторов и тензоров, приписывая индекс 1 оси , индекс 2 – оси и индекс 3 – оси . Тогда, например, для произвольного вектора его разложение по базисным векторам, вместо

можно записать:

или, в компактном виде, используя знак суммирования:

Кроме того, в дальнейшем для краткости записи, этот знак суммирования будет отбрасываться и использоваться правило суммирования по повторяющимся индексам, после чего для вектора его разложение по векторам базиса примет вид:

Далее будут изложены краткие сведения из тензорного исчисления – тензорной алгебры и анализа.

Тензоры как математический объект существуют независимо от системы координат. В то же время, в каждой системе координат тензор можно задать некоторой совокупностью величин, называемых его компонентами. Если компоненты тензора заданы в одной системе координат, то они определены и в другой, так как определение тензора включает в себя закон преобразования его компонент. Точное определение тензора будет дано далее.

Тензоры можно классифицировать по рангу и по порядку, что связано с числом компонент тензора. В трехмерном евклидовом пространстве, таком как обычное физическое пространство, число компонент тензора равно , где ранг тензора. Тензор нулевого ранга (скаляр) имеет одну компоненту и выражает физическую величину, характеризующуюся только числом (температура, плотность и т.д.). Тензоры первого ранга имеют три компоненты. Эти векторы, которые характеризуются как численным значением, так и направлением (скорость, сила, интенсивность теплового потока и т.д.). Тензоры второго ранга в трехмерном евклидовом пространстве имеют девять компонент и описывают такие важные характеристика, как напряжения, деформации, скорости деформаций и т.д. Также широко используют и тензоры более высокого ранга, в частности 3-го и 4-го, которые имеют 27 и 81 компоненту, соответственно.

Исторически сложились два подхода к изложению теории тензоров. Первый трактует тензоры как объекты, компоненты которого подчиняются определенным операциям. Этот подход, в литературе условно называемый подходом Эйнштейна, отождествляющий тензоры с их компонентами, является пока наиболее распространенным в курсах гидродинамики. Недостатки его очевидны – громоздкость записи и так называемая «вакханалия» индексов. Второй подход, часто называемый подходом Гиббса, трактует тензоры как объекты, непосредственно с которыми производятся определенные действия. Преимущества этого подхода заключаются в простоте записи и, как следствие этого, обозримости результатов и четко проступающем математическом и физическом смысле в производимых выкладках. В последнее время подход Гиббса является наиболее перспективным и подавляющее число научных публикаций использует именно его.

В данной работе будем использовать второй подход в теории тензоров и применять главным образом символические безиндексные тензорные обозначения, ведущие начало от Гиббса, и наряду с этим при обозначении компонент тензоров – индексные обозначения. Так, скалярные величины будем в основном обозначать строчной буквой: . Векторы в символической форме – строчными буквами латинского алфавита жирным шрифтом или с чертой наверху , а тензоры – в основном прописной буквой латинского алфавита жирным шрифтом или с чертой внизу .

В индексных обозначениях при выбранном базисе к характерной букве, представляющей интересующую нас тензорную величину, добавляют верхние или нижние буквенные индексы, пробегающие значения 1, 2, 3: . По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза. Если индекс употребляется один раз, то подразумевается, что он принимает значения 1, 2, 3 для трехмерного евклидова пространства. Если индекс употреблен дважды, то применяют правило суммирования, которое заключается в следующем: если в одночленном выражении один и тот же индекс встречается дважды, то по нему происходит суммирование по значениям индекса 1, 2, 3. Так выражение обозначает сумму . Индекс, по которому происходит суммирование, называется немым. Заметим, что такое название индекса является в известном смысле словесным выражением того факта, что этот индекс не реагирует на изменение обозначений, т.е. немой индекс может быть обозначен любой буквой: .

Пример 1. В трехмерном пространстве расшифруем следующие тензорные символы:

характеризует скаляр и представляет собой сумму

характеризует вектор, который имеет три компоненты:

характеризует тензор второго ранга, имеющий девять компонент:

Упражнение 1. Расшифровать следующие тензорные символы:

Упражнение 2. Определить компоненту вектора, если

Дельта Кронекера по определению:

Отсюда следует, что и т.д. Т.е. при одинаковых цифровых индексах значения дельты Кронекера равны единице, а при разных – ноль.

Пример 2. Вычислим значения величины . Поскольку индексы и встречаются по два раза, по ним происходит суммирование. Просуммируем сначала по , затем по (можно наоборот):

Упражнение3. Вычислить значения величин: