- •Алгебра и аналитическая геометрия
- •Лекция 1. Множества.
- •Задание множеств.
- •Операции над множествами.
- •Круги Эйлера. Алгебра множеств.
- •Мощность множества.
- •Лекция 2. Элементы математической логики.
- •Операции над высказываниями.
- •Контактные схемы.
- •Прямая, обратная, противоположная теоремы. Критерии.
- •Задачи на тему “Логика”
- •Лекция 3. Векторная алгебра.
- •Линейные операции над векторами.
- •Определение. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( ), построенного на этих векторах как на сторонах ( правило параллелограмма ).
- •Свойства линейных операций над векторами.
- •Понятие линейной зависимости векторов.
- •Теорема о разложении вектора
- •П онятие о проекциях.
- •Декартова система координат.
- •Лекция 4. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Условие коллинеарности двух векторов: .
- •Векторное произведение.
- •Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.
- •Механический смысл векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов.
- •Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Задачи по теме “Векторная алгебра”.
- •Библиографический список
- •Оглавление
Свойства линейных операций над векторами.
Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и выполнено + = + .
Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено + ( + ) = ( + )+ .
Прибавление нулевого вектора к любому вектору , не меняет последнего: + = .
Для любого вектора вектор - является противоположным, т.е. +(- )= .
Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел и и любого вектора , выполнено () =( )=( ).
Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: () = + .
Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: ( + )= + .
Умножение вектора на единицу не меняет вектора: 1 = .
Понятие линейной зависимости векторов.
Определение. Пусть дана система векторов 1, 2, …, n и совокупность n вещественных чисел 1, 2,…,n . Тогда выражение вида 1 1 +2 2 +…+n n называется линейной комбинацией векторов, а числа 1, 2,…, n называются коэффициентами линейной комбинации.
Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов 1, 2, …, n т.е. в виде: = 1 1 +2 2 +…+n n, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.
Определение. Векторы 1, 2, …, n называются линейно зависимыми, если существует набор коэффициентов 1, 2,…,n, одновременно не равных нулю
(21+ 22,+…+2n0) и таких, что 1 1 +2 2 +…+n n=0.
Определение. Векторы 1, 2, …, n называются линейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.
Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.
Определение. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Определение. Базисом в пространстве R3 называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.
Теорема о разложении вектора
по базису в пространстве R3 Пусть даны три некомпланарные вектора , , . Любой вектор раскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чисел 1, 2, 3 такой, что: = 1 +2 +3 .
Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:
Если хотя бы один из n векторов есть нуль вектор, то все n векторов линейно зависимы.
Если среди n векторов какие-либо n-1 векторов линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.
Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.
Пусть и - два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними вектор раскладывается по ним: =1 +2 . Такое разложение единственно.
Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарные вектора пространства линейно независимы.
Любые четыре вектора пространства R3 линейно зависимы.
Система векторов 1, 2, …, n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.