- •Алгебра и аналитическая геометрия
- •Лекция 1. Множества.
- •Задание множеств.
- •Операции над множествами.
- •Круги Эйлера. Алгебра множеств.
- •Мощность множества.
- •Лекция 2. Элементы математической логики.
- •Операции над высказываниями.
- •Контактные схемы.
- •Прямая, обратная, противоположная теоремы. Критерии.
- •Задачи на тему “Логика”
- •Лекция 3. Векторная алгебра.
- •Линейные операции над векторами.
- •Определение. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( ), построенного на этих векторах как на сторонах ( правило параллелограмма ).
- •Свойства линейных операций над векторами.
- •Понятие линейной зависимости векторов.
- •Теорема о разложении вектора
- •П онятие о проекциях.
- •Декартова система координат.
- •Лекция 4. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Условие коллинеарности двух векторов: .
- •Векторное произведение.
- •Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.
- •Механический смысл векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов.
- •Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Задачи по теме “Векторная алгебра”.
- •Библиографический список
- •Оглавление
Круги Эйлера. Алгебра множеств.
Для наглядного изображения соотношений между подмножествами некоторого универсального множества U используются круги Эйлера. Множество U обычно представляется множеством точек прямоугольника, а его подмножества изображаются кругами или другими простыми областями внутри этого прямоугольника. Непересекающиеся множества изображаются непересекающимися областями, а подмножествам соответствуют области, целиком располагающиеся внутри другой области. Дополнение множества А (до U), т.е. множество , изображается той частью прямоугольника, которая вне круга, изображающего .
Рассмотрим операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
U
A B A B
Пусть А, В, СU, тогда имеют место следующие соотношения:
1a AB=BA |
1b AB=BA (коммутативность) |
2a A(BC)=(AB)C |
2b A(BC)=(AB)C (ассоциативность) |
3a A(BC)=(AB)(AC) |
3b A(BC)=(AB)(BC) (дистрибутивность) |
Законы поглощения:
4a (AB)B=B |
4b (AB)B=B |
5a (A )B=B |
5b (A )B=B |
Дополнительные свойства:
1a =U |
1b = |
2a A =A |
2b AU=A |
3a A =U |
3b A = |
4a = |
4b = |
Мощность множества.
Конечные множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Для сравнения по насыщенности бесконечных множеств используется принцип сравнения. Между множеством точек гипотенузы прямоугольного треугольника и множеством точек катета можно установить соответствие таким образом, что каждой точке гипотенузы будет соответствовать точка катета и при этом разным точкам гипотенузы соответствуют разные точки катета. Соответствие устанавливается с помощью прямой, проведенной параллельно другому катету через взятую на гипотенузе точку М.
Определение. Говорят, что между элементами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, по которому каждому элементу аА сопоставлен один элемент вВ, называемый образом а, причем выполнены следующие два условия: 1) любые два различные элемента из А имеют различные образы; 2) каждый элемент из В является образом некоторого элемента из А.
Определение. Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность (обозначается А ~ В), если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие.
Примеры эквивалентных бесконечных множеств:
Множество N всех натуральных чисел и множество N1 всех целых отрицательных чисел эквивалентны: nN, -nN1, N~N1
Множество N эквивалентно множеству P положительных четных чисел:
nN, 2nP, N~P.
Множество действительных чисел и множество чисел интервала G=( ; - )
эквивалентны между собой. Эквивалентность этих множеств легко проверить с помощью соответствия у=tgx (xG,yR).
Любые два отрезка эквивалентны между собой. Взаимно однозначное соответствие между точками отрезков ОА и ОВ устанавливается с помощью прямых,
п роводимых параллельно отрезку АВ. Способ установления взаимно однозначного соответствия между элементами (точками) показан на рисунке.
Два множества, порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между собой: Если А~B и B~C, то А~B. Поэтому любой отрезок эквивалентен, например, отрезку [0;1].
Множества, эквивалентные множеству всех вещественных чисел из отрезка [0;1] называют множеством мощности континуум (сокращенно мощности С). Значит, множество чисел любого числового отрезка имеет мощность С. В частности, множество всех вещественных чисел R~( ; - )~[0;1] имеет мощность С.