Лекция 2. Элементы математической логики.

Исходным понятием математической логики является понятие “высказывание”.

Определение. Высказыванием называется предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Обозначаются высказывание заглавными буквами русского и латинского алфавитов. Примеры: 1. Предложение А :” г. Москва-столица России” есть истинное высказывание.

2. Предложение В: “2>3”- ложное высказывание.

Каждому истинному высказыванию будем ставить в соответствие число 1, а каждому ложному-0. На множестве высказываний вводится функция (р) по правилу:

(p)= .

В рассмотренных выше предложениях (A)=1; (B)=0.

Высказывания А, B-элементарные. К элементарному высказыванию предъявляется единственное требование: оно должно иметь вполне определенное значение.

Операции над высказываниями.

Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, которые назовем элементарными. Исходя из этих высказываний, можно строить новые высказывания с помощью так называемых логических операций.

Определение. Отрицанием высказывания Р называется новое высказывание (или Р ), которое считается истинным, если высказывание Р ложно и считается ложным, если Р истинно. Высказывание читается: ”неверно, что…”.

Пример. Высказывание Р: “3<5”.Высказывание :”неверно, что 3<5”.

Определение. Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание РQ (или P&Q), которое считается истинным, если истинны оба высказывания P и Q и ложным во всех остальных случаях.

Пример. Высказывания Р: 1<20 и Q: 1>-2, то высказывание РQ:-2<1<20.

Определение. Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание PQ, которое истинно в тех случаях, если хотя бы одно из высказываний P или Q истинно, и ложно, если ложны оба высказывания.

Пример. Высказывания X:”1>100”и Y:”5>2”, то высказывание XY (”1>100” или ”5>2”) истинно, так как истинно Y.

Определение. Импликацией высказываний P и Q называется высказывание PQ, ложное лишь в том случае, когда Р истинно, а Q ложно.

Высказывание “PQ” читается : “Если Р то Q” или “Из Р следует Q”. При этом высказывание Р- посылка (или условие), а Q-заключение (следствие).

Пример. Высказывание “Если 2<5, то 7<3” является импликацией высказываний “2<5”(посылка) и “7<3”(заключение). Высказывание ложно, т.к. из истинной посылки “2<5”сделано ложное заключение “7<3”.

Определение. Эквиваленцией высказываний P и Q называется высказывание PQ (читается “P эквивалентно Q” или “P тогда и только тогда, когда Q”), а истинно в том и только том случае, когда P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

Операции “Конъюнкция”, “Дизъюнкция”, “Импликация”, “Эквивалентность”, можно рассматривать как функции двух логических переменных x и y. Значения функций принадлежат тому же числовому множеству {0; 1}, что и значения логических переменных, такие функции называются булевыми функциями.

Сводная таблица истинности логических операций над высказываниями:

1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1

Законы алгебры логики.

1а	1б коммутативность
2а	2б ассоциативность
3а	3б дистрибутивность
4а	4б закон поглощения
5а	5б закон Моргана