__________3
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПРАВОЧНОЕ РУКОВОДСТВО ПО ФИЗИКЕ
Часть 2
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА, АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Ростов-на-Дону 2009
УДК 530.1 |
|
|
С 74 |
|
|
Авторы: |
И.Н. Егоров, С.И. Егорова, В.С. Кунаков, |
Г.Ф. Лемеш- |
ко, Ю.М.Наследников |
|
|
С 74 Справочное руководство по физике. Ч.2. Колебания, волны, оптика, атомная и ядерная физика: учеб. пособие. / И.Н. Егоров, С.И. Егорова, В.С. Кунаков, Г.Ф. Лемешко, Ю.М. Наследников. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2009. – 40 с.
Цель пособия – помощь студентам в самостоятельной работе при решении задач, подготовке к экзаменам, а также при подготовке к Интернет-тестированию.
Предназначено для студентов всех специальностей очной, заочной и ускоренной форм обучения.
УДК 530.1
Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета
Научный редактор: д-р техн.наук, проф. В.С. Кунаков
Издательский центр ДГТУ, 2009
Егоров И.Н., Егорова С.И., Кунаков В.С., Лемешко Г.Ф., Наследников Ю.М.
СПРАВОЧНОЕ РУКОВОДСТВО ПО ФИЗИКЕ
Часть 2
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА, АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Редактор Г.А.Бешун Компьютерная обработка И.В.Кикичева
Тем план 2009
_______________________________________________________________ В печать 2.04.09. Объём 2,5 усл. п. л. Офсет. Формат 60х84/64.
Бумага тип №3. Заказ №149. Тираж 300 экз. Цена свободная
Издательский центр ДГТУ Адрес университета и полиграфического предприятия:
344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,1.
1.МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение гармонических колебаний
x(t) Asin( 0t 0 ),
где x– смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний,( 0t 0 )- фаза колебаний,
0– круговая (циклическая частота), t – время, 0 – начальная фаза колебаний.
0 2 2 /T ,
где – частота колебаний, T 1/ – период колебаний.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:
x (t) dx A 0 cos( t 0 ), dt
max A 0 - амплитуда скорости (максимальное значение);
ax (t) ddt ddt22x A 02 sin( t 0 ),
amax A 02 - амплитуда ускорения (максимальное значение).
При 0 0 графики зависимостей x(t), t , a t представлены на рис.1, а,б,в, соответственно.
Возвращающая сила
F kx kAsin( 0t 0 ),
где k m 02 – коэффициент упругой (квазиупругой) силы, m – масса материальной точки;
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
kA m 2 |
A- амплитуда силы (максимальное значение). |
|||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
Кинетическая энергия колеблющейся точки |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
mA2 2 |
kA2 |
|||
|
|
|
|
|
Ek |
|
|
|
|
0 |
cos2 ( 0t 0 ) |
|
cos2 ( 0t 0 ); |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
mA2 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||
Ekmax |
|
kA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
-амплитуда кинетической энергии (максимальное значение). |
||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x
A
0
t
A
а)
|
а) |
0A
0
t
0A
a
б)
б)
2A |
|
0 |
|
0 |
t |
02A |
|
в) |
|
|
в) |
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Потенциальная энергия колеблющейся точки
|
|
|
|
|
kx |
2 |
|
mA2 2 |
kA2 |
|||
|
|
|
Ep |
|
|
|
|
0 |
sin2 ( 0t 0 ) |
|
sin2 ( 0t 0 ); |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||
|
mA2 2 |
kA2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
Epmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
- амплитуда потенциальной энергии (максимальное значение). |
|||||||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При 0 0 графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени представлены на рис.2, а, б соответственно.
Полная энергия при гармонических колебаниях (рис.2, в)
E |
kx2 |
|
m 2 |
Ekmax Epmax |
kA2 |
mA2 2 |
||
|
|
|
|
|
0 |
. |
||
|
|
2 |
2 |
|||||
2 |
2 |
|
|
|
||||
Уравнения гармонических колебаний могут быть заданы функциями синуса или косинуса. В табл.1 даны значения скорости, ускорения, силы и энергии в обоих случаях.
Таблица 1
x Asin( 0t 0 ) |
x Acos( 0t 0 ) |
x |
A 0 cos( 0t 0 ) |
x |
A 0 sin( 0t 0 ) |
|
ax |
A 02 sin( 0t 0 ) |
ax A 02 cos( 0t 0 ) |
||
F kAsin( 0t 0 ) |
F kAcos( 0t 0 ) |
|||
Ep |
Epmax sin2 ( 0t 0 ) |
Ep |
Epmax |
cos2 ( 0t 0 ) |
Ek |
Ekmax cos2 ( 0t 0 ) |
Ek |
Ekmax |
sin2 ( 0t 0 ) |
Периоды колебаний:
T 2 
l/g – математический маятник (l– длина нити);
T 2 
m/k – пружинный маятник (m – масса тела, k – коэффициент жесткости);
T 2 
I /(mgd) – физический маятник ( I – момент инерции тела относительно оси, прохо-
дящей через точку подвеса, определяется по теореме Штейнера, m – масса тела, d – расстояние от точки подвеса до центра масс).
d
R
Рис.3
ПРИМЕР: Однородный диск радиусом R 0,2м колеблется около горизонтальной оси, проходящей
на расстоянии d 0,15м от центра диска. Определить период T |
|
колебаний диска относительно этой |
||||||||||||||
оси (рис.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
, |
|
I |
mR2 |
md2 (нашли по теореме |
||
Период определяется |
по формуле |
|
|
I /(mgd) |
где |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Штейнера). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
mR2 |
2md2 |
|
2 |
R2 |
2d |
2 |
|
1,07c. |
||||||
2mgd |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2gd |
|
|
|
|
|
|||
Уравнение затухающих колебаний (рис.4)
x(t) A0e t sin( t 0 ),
где A0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени; – коэффициент затухания; A0e t - зависимость
амплитуды затухающих колебаний от времени; |
|
|
2 |
2 |
-частота затухающих колебаний; |
|
0 |
- |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
частота собственных колебаний; T |
2 |
|
|
|
2 |
|
- период затухающих колебаний. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
02 2
x
A0e t
A0
x0
t
T
Рис.4
Уравнение вынужденных колебаний, совершаемых под действием периодически изменяющейся
силы F F0 |
cos t, |
|
x Asin t , |
||
|
|
|
|
|
|
где |
A |
|
F0 /m |
|
- амплитуда вынужденных колебаний; |
|
|
|
|||
|
02 2 4 2 2 |
||||
2
arctg - начальная фаза вынужденных колебаний;
02 2
0 и - частоты собственных и вынужденных колебаний .
Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при частоте, близкой к частоте собственных колебаний.
Амплитуда при резонансе
A |
|
F0 /m |
|||||
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
02 |
2 |
||||
Резонансная частота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рез. |
02 |
2 2 . |
|||||
Дифференциальные уравнения колебаний
|
|
|
d2x |
|
2 x 0- гармонические, |
|||||||
|
|
|
dt2 |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
d2 x |
2 |
dx |
2 x 0 - затухающие, |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt2 |
|
dt |
0 |
|
||||||
d2x |
2 |
dx |
2 x |
|
F0 |
cos t- вынужденные. |
||||||
dt2 |
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
m |
|||||
Уравнение колебания, полученное при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления, амплитуды колебаний которых A1 и A2 , а начальные фазы 1 и 2 ,
x(t) Asin( t ),
где A A2 |
A2 |
2A A cos( |
2 |
|
1 |
) - амплитуда результирующего колебания; ( |
2 |
|
) - разность фаз |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|||
слагаемых колебаний; начальная фаза результирующего колебания определяется |
|
|
формулой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
A1 sin 1 |
A2 sin 2 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A cos |
1 |
A cos |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одинаковыми частотами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
2 |
|
xy |
cos( |
|
|
) sin2 ( |
|
|
): |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
A A |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) если |
2 |
|
|
0, то |
y |
A2 |
|
x - уравнение прямой, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) если 2 |
1 |
, то |
y |
|
A2 |
|
x - уравнение прямой, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) если |
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
1 - уравнение эллипса, приведённого к осям, |
|||||||||||||||||||||
2 |
1 |
2 |
|
|
A2 |
|
|
A2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) если |
2 |
|
1 |
/2 |
и |
A |
|
A , то x2 |
y2 R2 - |
уравнение окружности, где R - радиус |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
окружности.
2.МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Длина волны, т.е расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе,
T ,
где - скорость волны; T - период; - частота.
Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси xв среде, не поглощающей энергию:
(x,t) Acos t x/ 0
или
(x,t) Acos t kx 0 ,
где A- амплитуда волны; - циклическая частота; t x/ 0 -фаза волны4 0 - начальная фа-
за; k 2 2 - волновое число.
T
Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Волна называется поперечной, если частицы колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т.е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела. Продольные волны могут распространяться как в твердых телах, так и в жидких и газообразных средах.
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Период и собственная частота электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, т.е. в отсутствии сопротивления
T 2 
LC , 0 1/
LC ,
где L – индуктивность катушки, C – электроёмкость конденсатора.
Зависимость заряда на пластинах конденсатора, разности потенциалов между ними и тока в контуре от времени в идеальном колебательном контуре
q(t) q0 cos 0t ,
q0 - амплитуда заряда (максимальное значение);
U(t) q(t) q0 cos( 0t ),
C C
U0 q0 /C - амплитуда напряжения (максимальное значение);
I(t) dq q0 0 sin( 0t ), dt
I0 q0 0 - амплитуда силы тока (максимальное значение).
Зависимость энергии электрического поля конденсатора от времени
W |
|
CU2 |
|
q2 |
cos2 |
t . |
|
0 |
|||||
|
|
|||||
Э |
|
2 |
|
2C |
0 |
|
|
|
|
|
|
Зависимость энергии магнитного поля катушки от времени
WМ |
|
LI2 |
|
Lq02 02 |
sin2 0t . |
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
||
Зависимость заряда на пластинах конденсатора, разности потенциалов между ними и тока в контуре от времени в колебательном контуре при наличии сопротивления (R)
U(t) q(t) C
I(t)
q(t) q0e t cos t ,
q0 e t cos( t ) U0e t cos( t ),
C
dq I0e t cos( t ), dt
где q0 , U0 , I0 – заряд, напряжение и ток соответственно в начальный момент времени; R
2L - коэффици-
ент затухания; - начальная фаза колебаний; - разность фаз между током и напряжением в контуре.Зависимость амплитудных значений заряда, напряжения и силы тока в контуре от времени
qm q0e t , Um U0e t , Im I0e t .
Логарифмический декремент затухания
T .
Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включённые резистор сопротивлением R , катушку индуктивностью L и конденсатор электроёмкостью C , на концы которой подаётся переменное напряжение частотой ,
|
2 |
|
1 2 |
||
Z R |
|
L |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
C |
|
|
где R – активное сопротивление; L - реактивное индуктивное сопротивление; 1
C - реактивное ёмкостное сопротивление.
Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
tg L 1
C . R
Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения:
I |
д |
|
I |
m |
|
, |
U |
д |
|
U |
m |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
где Im и Um – амплитудные значения силы тока и напряжения.
Средняя мощность в цепи переменного тока
P |
1 |
I |
m |
U |
m |
cos , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
||||
|
|
R |
|
|
|
L |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||
Скорость электромагнитной волны в среде
|
|
с |
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
где c 3 108 м/с- скорость электромагнитной волны в вакууме; |
- диэлектрическая проницаемость |
||||
среды; - магнитная проницаемость среды. |
|
|
|
||
Длина электромагнитной волны
T .
Плотность энергии электромагнитной волны равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей:
w wЭ wМ |
|
|
0 |
E2 |
|
|
0 |
H2 |
, |
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
где 0 8,85 1012Ф/м - электрическая постоянная; 0 |
4 10 7 |
Гн/м – магнитная постоянная; E - напряжён- |
|||||||
ность электрического поля; H - напряжённость магнитного поля.
Связь между мгновенными значениями напряжённостей электрического и магнитного полей электромагнитной волны
0 E 
0 H .
Плотность потока энергии, т.е. энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны,
Sw E H .
Вектор Умова-Пойнтинга (вектор плотности потока электромагнитной энергии)
S EH .