МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Шевченко Н.П. Смирнова И.Ю.

Алгебра и аналитическая геометрия

Учебное пособие

(часть I)

Ростов-на-Дону

2004

УДК 517

Ш31

Ш31 Шевченко Н.П., Смирнова И.Ю. Алгебра и аналитическая геометрия. Учеб. пособие (часть I). Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ. 2004. 30с.

Учебное пособие (часть I) представляет собой опорный конспект лекций и упражнений по теме: «Множества, элементы математической логики, векторная алгебра». Рассмотрены основные понятия, свойства, приведены примеры с решениями. Пособие рассчитано на студентов первого курса всех специальностей, изучающих указанные разделы курса Высшая математика.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета.

Научный редактор д.ф.-м. н., проф. А.В. Братищев.

Рецензенты: к. ф.-м. н. Т.Н. Радченко (РГУ, г. Ростов-на-Дону)

©Издательский центр ДГТУ, 2004

Лекция 1. Множества.

Множество-это неопределяемое понятие, смысл которого ясен на основании практической деятельности человека. “Объекты”, входящие в состав множества, называются элементами заданного множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Стандартные числовые множества:

N-множество натуральных чисел: {1, 2, 3,…},

Z-множество всех целых чисел: {0, 1, 2,…},

Z₀- множество всех неотрицательных целых чисел: {0, 1, 2, …},

Q-множество рациональных чисел: { }, m, n N,

R-множество действительных чисел, I-множество иррациональных чисел

Множества обозначаются заглавными буквами A,B,M,N., а элементы обозначают прописными буквами: a,b,x,y. Если некоторый элемент x принадлежит множеству А, то пишут x A. Если x не принадлежит А, то пишут x A или x A.

Например, 5N; Q; Q; 0 N.

Два множества А и В называются равными в том и только том случае, когда каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество А равно множеству В, то пишут А=В.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что множество В включается во множество А и пишут: В  А, или А  В, где  и  значит включение. В этом случае множество В называют подмножеством множества А. Из определения подмножества следует, что включение ВА допускает одновременное выполнение условия В=А, а это значит, что в число подмножеств любого множества входит и само это множество. Подмножества множества А, не совпадающие с множеством А, называются собственными подмножествами множества А.

Наконец, два множества А и В равны в том и только том случае, если выполняется система двух вложений А  В, В А.

Примеры: N Z, Z Q, Q R, Z₀ Z, N Z_{0 .}.

Введем в рассмотрение пустое множество, т.е. ”множество”, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество является подмножеством любого множества. Это следует из определения подмножества как множества, не содержащего элементов, не принадлежащих А..