Задание множеств.

Существует два способа задания множества: перечислением его элементов и описанием свойств, присущих только элементам данного множества. При первом способе, в фигурных скобках перечисляются элементы, входящие в состав данного множества. Например: A={0;3;–2;4;5;23}, N={1;2;3;..}.

При втором способе также используются фигурные скобки, но теперь внутри скобок проводят вертикальную черту, разделяющую описание множества на две части. Слева от черты указывают, из какого множества объектов выбираются элементы данного множества, а справа описываются свойства, которыми обладают объекты, входящие в состав данного множества. Например, А={xN 0x5}={1;2;3;4;…}.

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество АВ, каждый элемент которого принадлежит либо множеству А либо множеству В (либо обоим этим множествам).

Пример. 1) Если А={1;2;3;4}, B={3;4;5;6} и C=AB, то С={1;2;3;4;5;6}. 2) Пусть М={xR x[3; 5]}, P={xRx[4;6) } и T=MP. Тогда Т={xRx[3;6)}.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество А В, каждый элемент которого принадлежит одновременно множествам А и В.

Пример. 1) Если А={1;2;3;4}, B={3;4;5;6} и C=AB, то С={3;4}. 2) Пусть М={xR x[3; 5]}, P={xRx[4;6) } и S=MP. Тогда S={xRx[4;5]}.

Если пересечение А и В пусто (АВ= ), то множества А и В называются непересекающимися.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример. Для множеств А, B, M, P, приведенных в предыдущих примерах, будем иметь: A\B={1;2}, M\P=[3;4).

Если множество А рассматривается как подмножество некоторого универсального множества U, то U\A называется дополнением множества А до множества U и обозначается , или символ С_u, т.е. = С_u А.

Определение. Дизъюнктивной суммой (симметрической разностью) множеств А и В называется множество АВ(или АВ), каждый элемент которого принадлежит либо множеству А, либо множеству В, но не принадлежит одновременно А и В.

Примеры.1. Для приведенных выше множеств А, В, М, Р будем иметь: АВ={1;2;5;6} и MP=[3;4)(5;6).

2. Даны множества А=x  25, В=xR x³+4x²+3x=0.

Найти: AB, AB, A\B, B\A, AB.

Решение. 1. Множество A представляет собой совокупность целых чисел, удовлетворяющих условию 25. Поэтому, чтобы непосредственно указать элементы множества A, решим неравенство. Итак, 25, 5².

Поскольку основание показательной функции больше единицы, то x²+x2, (x-1)(x+2)0. Отсюда получаем, что –2x1. Таким образом, A=-2;-1;0;1.

2. Множество В состоит из действительных чисел, являющихся корнями уравнения x³+4x²+3x=0. Следовательно, В={-3;–1;0}

3. Множество AB содержит все элементы А и В, и не содержит никаких других элементов, то есть АВ={-3;-2;-1;0;1}

4. Множество АВ содержит все общие для А и В элементы, т.е. АВ={-1;0}.

5. Множество А\В получается удалением из множества А общих с В элементов: А\В={-2;1}.

6.Множество В\А получается удалением из множества В общих с А элементов: В\А={-3}.

7.Множество АВ содержит все элементы А и В, кроме их общих элементов, то есть

АВ={-3;-2;1}.

Замечание: Если уже найдены множества А\В,В\А, то для нахождения множества АВ можно воспользоваться формулой: АВ=(А\В)(В\А).