Контактные схемы.

Одним из приложений булевых функций является анализ и синтез так называемых контактных схем. Будем рассматривать переключательные схемы электрической цепи.

Между источником питания и потребителем может быть замыкающий и размыкающий цепь контакт, либо цепь контактов, соединенных последовательно или параллельно. Каждому контакту поставим в соответствие логическую переменную, которая примет значение 1, если контакт в рассматриваемый момент времени замыкает цепь, и значение 0, если цепь разомкнута.

Поместим между источником и потребителем тока два контакта, соединенные последовательно (рис. b). Соответствующие им логические переменные обозначим через х₁ и х₂. Для такой цепи условие прохождения тока описывается конъюнкцией х₁х₂.

Если контакты соединены параллельно (рис с), то цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, и разомкнута, когда оба они разомкнуты. Очевидно, работа в цепи в этом случае описывается дизъюнкцией х₁х₂.

Контакты не всегда независимы друг от друга. Можно устроить так, чтобы замыкались и размыкались одновременно. В этом случае контакты называют идентичными и им ставят в соответствие одинаковые логические переменные.

Однако можно устроить так , что при замыкании одного контакта другой размыкается. В этом случае контакты называют инверсными. Любую формулу логики высказываний можно моделировать в виде переключательной схемы.

Пример. Совершенной дизъюнктивной нормальной форме (с.д.н.ф.) F(x,у,z) , составленной по таблице истинности, соответствует переключательная схема вида:

Для соответствующей совершенной конъюнктивной нормальной формы (с.к.н.ф.)

F (x,y,z) переключательная схема имеет вид:

Прямая, обратная, противоположная теоремы. Критерии.

1. Прямая теорема: А В (условие следствие, посылка заключение).

2. Обратная теорема: В А (заключение посылка).

3. Противоположная теорема: .

4. Теорема, обратная к противоположной: .

5. Необходимое и достаточное условие(критерий): А В~(А В) (В А)

Задачи на тему “Логика”

1. Даны высказывания А={2=3} и В={2<3}. В чем заключаются высказывания АВ, АВ, АВ, АВ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложные?

Решение. 1) Высказывание АВ={2=3 или 2<3} истинно, так как одно из слагаемых является истинным высказыванием. Высказывание АВ так же можно записать в виде АВ={23}.

2) Высказывание А В={2=3 и 2<3} является ложным, так как по крайней мере одно из высказываний ложно.

3) Эквивалентность А В={2=3 тогда и только тогда, когда 2<3} представляет собой ложное высказывание, так как А ложно, а В истинно.

4) Импликация АВ={если 2=3, то 2<3} является истинным высказыванием. В самом деле, АВ согласно определению ложно тогда и только тогда, когда А -истинно, а В – ложно.

2. Составить таблицу истинности высказывания ( x(xy))(yx).

Совершим следующие промежуточные выкладки:

1. x	4.y
2. xy	5. yx
3. x(xy)	6. (x(xy))(yx)

X	Y	1	2	3	4	5	6
1	1	0	0	0	0	1	1
1	0	0	0	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0	1
0	0	1	0	1	1	1	1

Замечание. Так как в последнем столбце получились все единицы, то данное высказывание является истинным.