1.5. Преобразование полосы для цифровых фильтров

По аналогии с фильтрами непрерывного времени существует несколько простых преобразований цифрового фильтра нижних частот (с частотой среза ) в другой фильтр нижних частот (с другой частотой среза ), а также в цифровой фильтр верхних частот, полосовой или режекторный. Далее приведены формулы для этих преобразований.

1. Фильтр нижних частот фильтр нижних частот:

,

где – заданная частота среза фильтра нижних частот.

8. Фильтр нижних частот  фильтр верхних частот:

,

где – заданная частота среза фильтра верхних частот.

9. Фильтр нижних частот  полосовой фильтр:

Здесь

– центральная частота полосового фильтра.

10. Фильтр нижних частот  режекторный фильтр:

Здесь ; ; – центральная частота режекторного фильтра.

1.6. Методы дискретизации аналогового фильтра

Предположим, что передаточная функция аналогового фильтра (представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики) равна:

, (3.1)

причем коэффициенты и (или и ) известны.

Наиболее распространенными методами дискретизации аналогового фильтра с передаточной функцией (3.1) являются следующие:

• метод отображения дифференциалов;

• метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

• метод билинейного преобразования;

• метод согласованного -преобразования.

Рассмотрим некоторые из них.

1.6.1. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

Отличительной особенностью этого метода является то, что в качестве импульсной характеристики рассчитываемого цифрового фильтра используется дискретная импульсная характеристика соответствующего аналогового фильтра. В результате частотная характеристика цифрового фильтра образуется наложением частотной характеристики дискретизуемого аналогового фильтра.

Для того чтобы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона .

Для выполнения этого условия необходимо до начала преобразования вводить дополнительный фильтр нижних частот, гарантирующий соответствующее ограничение полосы пропускания аналогового фильтра.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики дает хорошие результаты для баттервортовских, бесселевых или чебышевских фильтров нижних частот и полосовых фильтров. Достоинство этого метода заключается в сохранении в цифровом фильтре таких же фазовой характеристики и характеристики затухания, как и у исходного аналогового фильтра.

1.6.2. Метод билинейного преобразования

Билинейное -преобразование использует следующую замену:

(3.5)

При небольших отображение почти линейно, однако для основной части частотной шкалы оно существенно нелинейно и значительно ограничивает область применения билинейного преобразования. Существует, правда, довольно большой класс фильтров, для которых частотная деформация может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры нижних частот, высоких частот, полосовые и режекторные. Эффекты нелинейности соотношения между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров удается учесть лишь в том случае, когда частотная характеристика аналогового фильтра имеет вид ступенчатой функции. Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная, ни фазовая характеристики аналогового фильтров не будут совпадать.