Точечные и интервальные оценки.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.  ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

    

X = (x₁+x₂+...+x_n)/n,

     где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);      x₁,x₂,...x_n - выборочные значения; n - объем выборки.      ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.      Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.     Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

     Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X - T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max - нижняя и верхняя границы интервала;     X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);     n - объем выборки;     T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (x_n - X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

   ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ СТАТИСТИКИ - число независимых случайных величин, по которым вычисляется данная статистика. Например, при вычислении среднего арифметического все случайные величины в выборке x₁,x₂,...,x_n независят друг от друга. В оценке S из n отклонений вида (x_i - X)² независимы только n-1 (т.к. в формуле присутствует X, то по любому набору n-1 отклонений вычисляется n-ое).

Свойства среднего арифметического. Свойства дисперсии среднего арифметического.

 Рассмотрим характеристики точечной оценки МО - среднего арифметического. Пусть имеется выборка x₁, x₂, ..., x_n объема n случайной величины X. Тогда:

 

M(X) = M[(x₁+ x₂ +...+ x_n)/n] = (1/n)*M[x₁ + x₂ +...+ x_n].

 

     Если все наблюдения x₁, x₂, ..., x_n принадлежат одной генеральной совокупности, то Mx₁=Mx, Mx₂=Mx, ..., Mx_n=Mx, следовательно по свойству 4 МО: 

M(X) = (1/n)*[Mx + Mx +...+ Mx] = (1/n)*n*Mx = Mx

    СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ - НЕСМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ,ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ!

     Для той же выборки имеем: D(X) = D[(x₁+ x₂ +...+ x_n)/n] = (1/n²)*D[x₁+ x₂ +...+ x_n].

     Если все наблюдения x₁,x₂,...,x_n принадлежат одной генеральной совокупности и процедура извлечения элементов выборки такова, что значения x_i независимы, то D(x₁)=Dx, D(x₂)=Dx, ..., D(x_n)=Dx, следовательно по свойству 4 дисперсии:

     D(X) = (1/n²)*[Dx+Dx+...+Dx] = (1/n²)*n*Dx = Dx/n

     ДИСПЕРСИЯ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО В n РАЗ МЕНЬШЕ ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕСЛИ ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ И ПРОЦЕДУРА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ВЫБОРКИ ОБЕСПЧИВАЕТ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ!