Свойства дисперсии.

    Свойства дисперсии определяются свойствами МО. Напомним, дисперсия является центральным моментом второго порядка: D(x) = M[(x-Mx)²].    Дисперсия любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется обладает следующими свойствами.    1.ДИСПЕРСИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО НУЛЮ.    Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a)=M[(a-M(a))²]=M[0]=0.    2. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (ДИСПЕРСИЯ ИНВАРИАНТНА СДВИГУ).    Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a+x)=M[(a+x-M(a+x))²]= M[(x-M(x))²]=D(x).    3.ДИСПЕРСИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА КВАДРАТ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.    Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a*x)=M[(a*x-M(a*x))²]=M[(a*(x-M(x))²]=

=M[a²*(x-M(x))²]=a²*D(x).    4. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН И УДВОЕННОЙ КОВАРИАЦИИ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.    Пусть x и у - случайные величины. Тогда D(x+y)=M[((x+y)-M(x+y))²]= =M[((x-Mx)+(y-My))²]=M[(x-Mx)²+(y-My)²+2*(x-Mx)*(y-My)]=M[(x-Mx)²]+ +M[(y-My)]+2*M[(x-Mx)*(y-My)]=D(x)+D(y)+2*COV(x,y).    Величина COV(x,y)=M[(x-Mx)*(y-My)] называется ковариацией и обладает свойством: ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОВАРИАЦИЯ ВСЕГДА РАВНА НУЛЮ. Отсюда, следует: ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ (И ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

Статистики и оценки.

В практических приложениях, как правило, параметры случайной величины неизвестны. Возникает задача оценивания параметров. Эта задача решается методом выборочного анализа, который состоит в следующем.     Вся совокупность возможных реализаций (наблюдений) случайной величины определяется как ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ. Параметры генеральной совокупности (случайной величины) оцениваются по ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ (ВЫБОРКЕ) - части генеральной совокупности. Например, для оценивания МО доходов работников образования России, из всей генеральной совокупности доходов работников образования по тем или иным правилам отбираются доходы некоторых. Количество элементов в выборке, отобранных из генеральной совокупности называется ОБЪЕМОМ ВЫБОРКИ.     После извлечения выборки ее анализируют. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА ВЫБОРКИ РАСПРОСТРАНЯЮТ НА ВСЮ ГЕНЕРАЛЬНУЮ СОВОКУПНОСТЬ. В этом основная методологическая ошибка выборочного анализа (вспомните ошибки в рейтингах политических деятелей!). Задача исследователя состоит в том, что бы свести ошибку к минимуму. Исследователь должен так извлечь выборку, так ее обработать, чтобы ошибка была минимальной.

    Любая функция от выборочных данных называется СТАТИСТИКОЙ. Очевидно, что статистика всегда является случайной величиной, т.к. элементы выборки - суть случайные величины. Примером статистики может служить сумма всех значений в выборке.     Некоторые статистики являются ОЦЕНКАМИ ПАРАМЕТРОВ исследуемой случайной величины, т.е. с определенной точностью совпадающие с истинными неизвестными значениями параметров.      Необходимо совершенно четко представлять, что ЛЮБОЙ ПАРАМЕТР СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ - НЕСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЛЮБАЯ СТАТИСТИКА ИЛИ ОЦЕНКА - СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.     В силу сказанного поведение любой оценки как статистики может быть описано параметрами (МО, дисперсия и другие). Эти параметры используются для определения точности оценок. Рассмотрим некоторые из характеристик оценок.     Пусть x - случайная величина, U - параметр случайной величины x, u - выборочная оценка параметра U.

    СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНКИ - разность между истинным значением параметра случайной величины и МО оценки параметра.

    

B(u) = U - Mu.

    Если смещение оценки равно нулю, то оценка u называется НЕСМЕЩЕННОЙ ОЦЕНКОЙ ПАРАМЕТРА U.

    ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ - центральный момент второго порядка оценки u.

    

D(u) = M[(u-Mu)²].

     Очевидно, что для параметра U может существовать несколько оценок. Например, для МО оценками могут быть среднее арифметическое, среднее геометрическое и др.

    НАИЛУЧШЕЙ ОЦЕНКОЙ ПАРАМЕТРА U называется такая НЕСМЕЩЕННАЯ оценка, которая обладает МИНИМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ среди всех возможных несмещенных оценок.

    СРЕДНЕ-КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ОЦЕНКИ - момент второго порядка вида:

    

С.К.О.(u) = M[(u-U)²]

    Обратите внимание, под знаком МО отклонение оценки от истинного значения оцениваемого параметра. Можно показать, что С.К.О.(u) = D(u) + B(u)² - сумма дисперсии оценки и квадрата смещения оценки. Если B(u) = 0, то С.К.О.(u) = D(u).