- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 50 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач. І. Функції. Класифікація функцій.
- •Іі. Границя функції однієї змінної.
- •1. Означення границі функції у точці
- •Теорема 1
- •Приклад 1
- •Розв’язання.
- •4. Обчислення границі функції в точці.
- •4.4. Границі показникових та логарифмічних функції.
- •2. Точки розриву. Класифікація.
- •Завдання 2
- •Варіанти завдань:
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
2. Точки розриву. Класифікація.
Означення 6. Точка , в якій порушена хоча б одна з умов неперервності, називається точкою розриву функції .
Точки розриву класифікують таким чином:
1. Якщо існують скінченні границі і , причому не всі три числа , і рівні між собою, то точка називається точкою розриву першого роду.
До точок розриву першого роду відносяться точки усувного розриву та точки розриву типу „стрибок”.
1.1. Якщо = , то точка називається точкою усувного розриву.
1.2. Якщо , то точка називається точкою „стрибка”, а величина: - стрибком функції в точці .
2. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо хоча б одна з границь , не існує або дорівнює нескінченності.
3. Властивості неперервних функцій. Арифметичні операції над неперервними функціями.
Теорема 21
Якщо функції та неперервні в точці , тоді в цій точці неперервні функції:
Теорема 22
Про неперервність складної функції.
Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то складна функція неперервна в точці .
Теорема 23
Про неперервність оберненої функції.
Якщо функція визначена, зростаюча (спадна) і неперервна на відрізку , де , . Тоді ця функція має на відрізку обернену функцію або , яка є зростаючою (спадною) і неперервною.
Теорема 24
Про неперервність елементарних функцій.
Елементарні функції неперервні в усіх точках, в яких вони визначені.
4. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
Функція , неперервна на відрізку , має такі властивості:
обмежена на відрізку ;
досягає на відрізку свого найбільшого та найменшого значення;
набуває всіх проміжних значень між і , , тобто для будь-якого числа , що лежить між числами та , знайдеться така точка , що ;
за умови, що , існує хоча б одна точка така, що
5. Дослідження функцій на неперервність.
При знаходженні точок розриву потрібно враховувати такі факти:
Елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, але не може бути розривною в усіх точках будь-якого інтервалу.
Елементарна функція може мати розрив тільки в тій точці, де вона не визначена, за умови, що вона визначена хоча б з однієї сторони від цієї точки.
Якщо функцію задано декількома різними аналітичними виразами (формулами) для різних інтервалів зміни аргументу, то вона може мати розриви в тих точках, де змінюється її аналітичний вираз.
Приклад 20
Дослідити на неперервність функцію , визначити точки розриву і встановити їх характер.
Розв’язання.
Функція визначена для всіх х, крім х = 3, і неперервною на інтервалах .
Обчислимо і : =
= Маємо, що = , бо при х = 3 функція невизначена. У точці х = 3 маємо розрив першого роду – усувний.
Приклад 21
Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер.
Розв’язання.
Маємо показникові функцію, яка неперервна в кожній точці її області визначення. У точці х=2 функція не визначена.
Отже, функція неперервна на інтервалах . Обчислимо і :
=
=
У точці х = 2 функція має розрив другого роду.
Приклад 22
Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер.
Розв’язання.
Функція визначена в усіх точках, крім (це корені рівняння ). Отже, функція неперервна на інтервалах Розрив можливий тільки в точках .
Дослідимо характер точок розриву. Врахуємо, що = . =
= . Маємо = , отже, точка х = -1 – точка усувного розриву.
=
= Точка х=4 – точка розриву другого роду.
Приклад 23
Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер. Побудувати її графік.
Розв’язання.
Функція визначена і неперервна на інтервалах , де вона задана неперервними елементарними функціями. Розрив можливий тільки в точках .
Визначимо характер точок розриву.
.
У точці х = 0 функція має розрив роду, типу „стрибок”.
.Отже, , тому у точці має розрив першого роду, типу „стрибок”.
Графік заданої функції має вигляд:
ІV. Завдання для контрольної роботи.
Завдання 1
Знайти границі заданих функцій.
Варіанти завдань:
1 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
2 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
|
|
|
3 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
4 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
5 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
6 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
7 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
|
|
|
д) |
|
|
8 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
9 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
10 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
11 а) |
б) |
|
в) |
г)
|
|
д) |
|
|
12 а)
|
б)
|
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
13 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
14 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
15 а) |
б)
|
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
16 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
17 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
18 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
19 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
20 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
21 а) |
б) |
|
|
|
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
22 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
23 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
24 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
25 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
26 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
27 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
28 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
29 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
30 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
|
|
|
д) |
|
|
31 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
32 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
33 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|
|
34 а) |
б) |
|
в) |
г) |
|
д) |
|