2. Точки розриву. Класифікація.

Означення 6. Точка , в якій порушена хоча б одна з умов неперервності, називається точкою розриву функції .

Точки розриву класифікують таким чином:

1. Якщо існують скінченні границі і , причому не всі три числа , і рівні між собою, то точка називається точкою розриву першого роду.

До точок розриву першого роду відносяться точки усувного розриву та точки розриву типу „стрибок”.

1.1. Якщо = , то точка називається точкою усувного розриву.

1.2. Якщо , то точка називається точкою „стрибка”, а величина: - стрибком функції в точці .

2. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо хоча б одна з границь , не існує або дорівнює нескінченності.

3. Властивості неперервних функцій. Арифметичні операції над неперервними функціями.

Теорема 21

Якщо функції та неперервні в точці , тоді в цій точці неперервні функції:

Теорема 22

Про неперервність складної функції.

Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то складна функція неперервна в точці .

Теорема 23

Про неперервність оберненої функції.

Якщо функція визначена, зростаюча (спадна) і неперервна на відрізку , де , . Тоді ця функція має на відрізку обернену функцію або , яка є зростаючою (спадною) і неперервною.

Теорема 24

Про неперервність елементарних функцій.

Елементарні функції неперервні в усіх точках, в яких вони визначені.

4. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Функція , неперервна на відрізку , має такі властивості:

1. обмежена на відрізку ;

2. досягає на відрізку свого найбільшого та найменшого значення;

3. набуває всіх проміжних значень між і , , тобто для будь-якого числа , що лежить між числами та , знайдеться така точка , що ;

4. за умови, що , існує хоча б одна точка така, що

5. Дослідження функцій на неперервність.

При знаходженні точок розриву потрібно враховувати такі факти:

1. Елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, але не може бути розривною в усіх точках будь-якого інтервалу.

2. Елементарна функція може мати розрив тільки в тій точці, де вона не визначена, за умови, що вона визначена хоча б з однієї сторони від цієї точки.

3. Якщо функцію задано декількома різними аналітичними виразами (формулами) для різних інтервалів зміни аргументу, то вона може мати розриви в тих точках, де змінюється її аналітичний вираз.

Приклад 20

Дослідити на неперервність функцію , визначити точки розриву і встановити їх характер.

Розв’язання.

Функція визначена для всіх х, крім х = 3, і неперервною на інтервалах .

Обчислимо і : =

= Маємо, що = , бо при х = 3 функція невизначена. У точці х = 3 маємо розрив першого роду – усувний.

Приклад 21

Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер.

Розв’язання.

Маємо показникові функцію, яка неперервна в кожній точці її області визначення. У точці х=2 функція не визначена.

Отже, функція неперервна на інтервалах . Обчислимо і :

=

=

У точці х = 2 функція має розрив другого роду.

Приклад 22

Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер.

Розв’язання.

Функція визначена в усіх точках, крім (це корені рівняння ). Отже, функція неперервна на інтервалах Розрив можливий тільки в точках .

Дослідимо характер точок розриву. Врахуємо, що = . =

= . Маємо = , отже, точка х = -1 – точка усувного розриву.

=

= Точка х=4 – точка розриву другого роду.

Приклад 23

Дослідити на неперервність функцію: , визначити точки розриву і встановити їх характер. Побудувати її графік.

Розв’язання.

Функція визначена і неперервна на інтервалах , де вона задана неперервними елементарними функціями. Розрив можливий тільки в точках .

Визначимо характер точок розриву.

.

У точці х = 0 функція має розрив роду, типу „стрибок”.

.Отже, , тому у точці має розрив першого роду, типу „стрибок”.

Графік заданої функції має вигляд:

ІV. Завдання для контрольної роботи.

Завдання 1

Знайти границі заданих функцій.

Варіанти завдань:

1 а)	б)
в)	г)
д)
2 а)	б)
в)	г)
д)
3 а)	б)
в)	г)
д)
4 а)	б)
в)	г)
д)
5 а)	б)
в)	г)
д)
6 а)	б)
в)	г)
д)
7 а)	б)
в)	г)
д)
8 а)	б)
в)	г)
д)
9 а)	б)
в)	г)
д)
10 а)	б)
в)	г)
д)
11 а)	б)
в)	г)
д)
12 а)	б)
в)	г)
д)
13 а)	б)
в)	г)
д)
14 а)	б)
в)	г)
д)
15 а)	б)
в)	г)
д)
16 а)	б)
в)	г)
д)

17 а)	б)
в)	г)
д)
18 а)	б)
в)	г)
д)
19 а)	б)
в)	г)
д)
20 а)	б)
в)	г)
д)
21 а)	б)
в)	г)
д)
22 а)	б)
в)	г)
д)
23 а)	б)
в)	г)
д)
24 а)	б)
в)	г)
д)
25 а)	б)
в)	г)
д)
26 а)	б)
в)	г)
д)
27 а)	б)
в)	г)
д)
28 а)	б)
в)	г)
д)
29 а)	б)
в)	г)
д)
30 а)	б)
в)	г)
д)
31 а)	б)
в)	г)
д)
32 а)	б)
в)	г)
д)
33 а)	б)
в)	г)
д)
34 а)	б)
в)	г)
д)