2. Расстояние между двумя точками на плоскости

Д ано: и .

Найти .

Рассмотрим . По теореме Пифагора:

;

;

;

;

3. Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

О пределение: уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение , которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

Замечание: геометрическим образом заданного уравнения не всегда является линия:

– точка ; – нет такой точки.

4. Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k

Дана прямая , которая пересекает оси координат и не параллельна ни одной из них. Пусть угол наклона к положительному направлению оси Ox равен . Угол отсчитывается от Ox против часовой стрелки ( ) – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Точка пересечения с Oy – .

Пусть – произвольная точка . Рассмотрим . Он прямоугольный и имеет острый угол ; ; . Найдем (отношение противолежащего катета к прилежащему). . Обозначим через . Имеем: или , – уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Ч астные случаи:

1. , – уравнение прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на ;

2. , – прямая проходит через начало координат;

3. , – уравнение оси Ox;

4. – уравнение прямой, параллельной оси Oy и отстоящей от нее на ;

5. – уравнение оси Oy;

6. – уравнение биссектрисы I и III координатных углов;

7. – уравнение биссектрисы II и IV координатных углов.

5. Общее уравнение прямой

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением: , где , и – коэффициенты, одновременно не равные нулю.

Справедливо утверждение: каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени, и, наоборот, каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую на плоскости.

Рассмотрим каждое из условий:

1. Пусть дана прямая , в которой , , ( ). Если , – тоже прямая. Итак, любая прямая – уравнение первой степени.

2. Покажем, что произвольному уравнению первой степени ( , и одновременно не равны 0) соответствует прямая на плоскости.

если , то , , где , . Значит – прямая линия. Если , , то – уравнение прямой, параллельной оси Oy. Уравнение – общее уравнение прямой.

6. Уравнение прямой в отрезках

П усть дана прямая . Если , то, разделив на . Имеем: , или . Обозначив , , получим – уравнение прямой в отрезках; и – отрезки, которые она отсекает на осях координат.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть дана точка . Выведем уравнение прямой, проходящей через нее и имеющей угловой коэффициент . Искомое уравнение должно иметь вид , но т.к. прямая проходит через , то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: . Если мы из первого уравнения вычтем почленно второе, то . Это и есть искомое уравнение: ; .