6. Объединение множеств

На рисунке 11 изображены две пересекающиеся прямые. Вместе они образуют крестообразную фигуру. Множество точек этой фигуры получается путем объединения множества точек первой прямой с множеством точек второй прямой. При этом точка О пересечения прямых берется один раз – ведь в множество каждый элемент входит только один раз.

Рис.11 Рис.12 Рис.13

Когда две кучи картофеля ссыпают в одну кучу, то также объединяют два множества – множество картофелин первой кучи с множеством картофелин второй кучи. Вообще, если задано несколько множеств А, В, … , N, … , то их объединением называют множество Х, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств. Объединение двух множеств А и В обозначают .

Например, объединением числового отрезка [2: 6] и числового отрезка [4; 9] является числовой отрезок [2; 9]. При этом точки отрезка [4; 6] входят в оба отрезка, но в объединении их берут только один раз. Точно так же круг на рисунке 12 является объединением двух сегментов AMB и ANB. При этом точки хорды AB входят в оба сегмента.

Рис. 14

Рис. 15

7. Вычитание множеств

Разностью двух множеств А и В называют такое множество , в которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В. При этом не предполагается, что множество В является частью множества А. Таким образом, при вычитании множества В из множества А из А удаляются пересечение А и В:

.

Например, если А – множество точек первого круга на рисунке 16, а В – множество точек второго круга, то и разностью является множество точек заштрихованной серповидной фигуры. При этом точки дуги MN удаляются из фигуры.

В случае, когда В – часть множества А, называют дополнением к В в множестве А и обозначают (разумеется, одно и то же множество В может иметь разные дополнения в разных содержащих его множествах А) (рис. 17). Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. А дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов является множество ромбов с неравными смежными углами.

Рис. 16

Рис. 17

3. Аналитическая геометрия

   1. Система координат на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия – наука, которая устанавливает алгебраические уравнения геометрических образов.

Т очка и ее координаты на плоскости

Точка и ее координаты в пространстве ;

Знаки координат: I четверть – , ; II четверть – , ; III четверть – , ; IV четверть – , /

Оси координат: – ось абсцисс; – ось ординат; – ось аппликат. Все оси взаимно перпендикулярны.

Система координат считается заданной, если есть направленные оси, точка отсчета и единица масштаба. Для построения точки необходимо на оси отложить число и провести перпендикуляр к оси, а на оси – число и провести перпендикуляр до пересечения с аналогичным от оси . – точка пересечения перпендикуляров.