Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Пусть
дана точка
.
Так как нам необходимо составить
уравнение прямой, то оно будет иметь
вид
.
Поскольку точка
принадлежит этой прямой, то ее координаты
удовлетворяют общему уравнению прямой:
.
Вычтя из предыдущего уравнения данное
и выполнив простейшие преобразования,
мы имеем:
.
При любом
и
этому уравнению удовлетворяют координаты
точки
.
Таким
образом:
– уравнение прямой, проходящей через
данную точку с координатами
и
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
Уравнение
прямой проходящей через
имеет вид:
или
.
Применив свойство пропорции, имеем:
.
Так
как искомая прямая проходит и через
точку
,
то ее уравнение:
или
.
Имеем:
или
.
Полярные координаты
П
усть
дана точка О на плоскости. Зафиксируем
ее и направим из нее луч Op,
выберем единицу масштаба. Точку O
назовем полюсом,
а полупрямую Op
– полярной
осью. Возьмем
на плоскости произвольную точку
.
Ей в соответствие поставим два числа:
полярный
радиус
,
равный расстоянию от
до полюса
;
полярный
угол
,
равны углу между полярной осью Op
и полярным радиусом
.
П
олярный
угол измеряется в радианах, положительный
отсчет ведется против часовой стрелки
.
Точке O
соответствует
,
полярный угол для него не определен.
Запись
обозначает, что точка
имеет полярные координаты
и
.
Найдем зависимость между прямоугольными и полярными координатами.
Из
имеем:
;
;
;
.
Угол между прямыми
Р
ассмотрим
на плоскости две прямые:
:
и
:
с углами наклона к положительному
направлению оси Ox
соответственно
и
.
Пусть прямые пересекаются в точке
.
Определение:
углом между прямыми
и
будем называть наименьший угол, на
который надо повернуть
вокруг точки
против часовой стрелки до совпадения
ее со второй прямой
(
).
Из рисунка видно, что
.
– формула,
выражающая
через угловые коэффициенты прямых
и
.
Условие параллельности прямых
=
;
т.к.
.Если
,
;
.
;
;
– угловые
коэффициенты взаимно перпендикулярных
прямых обратны по абсолютной величине
и противоположны по знаку (
).
Если
,
– прямые пересекаются.
Уравнение окружности
Определение: окружностью называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.
П
усть
– центр окружности,
– ее радиус, а
– произвольная точка окружности (все
точки равноудалены от центра).
По
определению
.
По формуле расстояния между двумя
точками имеем:
– это и есть уравнение окружности, с
центром в точке
и радиусом
.
то
– уравнение окружности радиуса
и с центром в точке
;если
то
– центр окружности – начало координат;если
,
то
– уравнение единичной окружности:
центр – в начале координат, а радиус
.