4. Подмножества

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В – подмножество в А, и пишут . Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество Ø и само множество А. Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

Приведем примеры подмножеств:

1. числовой отрезок [–1, 3] есть подмножество числового отрезка [–4; 5];

2. множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

3. множество Z всех целых чисел есть подмножество множества Q всех рациональных чисел;

4. множество точек треугольника, вписанного в круг, есть подмножество множества точек этого круга;

5. множество точек круга является подмножеством множества точек описанного вокруг него квадрата;

6. множество звезд нашей Галактики является подмножеством множества всех звезд Вселенной;

7. множество учеников восьмого класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы. В свою очередь множество учеников этой школы является подмножеством множества всех школьников в Республики Беларусь;

8. множество жителей Москвы является подмножеством множества всех жителей России;

9. множество граждан г. Минск является подмножеством множества всех людей на земном шаре.

5. Пересечение множеств

Н а рисунке 6 прямые MN и PQ пересекаются в точке R.

Эта точка принадлежит как прямой MN, так и прямой PQ, т.е. является общим элементом двух множеств – множества точек прямой MN и множества точек прямой PQ. Точно так же множество точек прямой MN и множество точек окружности Г (рис. 7) имеют два общих элемента – точку А и точку B. Прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Введем теперь общее понятие пересечения нескольких множеств. Пересечением множеств А и В называют новое множество Х, содержащее те и только те элементы, которые входят и в множество А и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают или AB. Например, если А – множество мальчиков, обучающихся в данной школе, а В – множество всех учеников из 8 класса, то – множество мальчиков, которые учатся в 8 классе.

С понятием пересечения множеств приходится иметь дело и в арифметике. Пусть А – множество натуральных делителей числа 72:

A ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72},

а В – множество натуральных делителей числа 54:

B ={1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}.

Тогда множество состоит из чисел 1, 2, 3, 6, 9, 18:

={1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Эти числа являются общими делителями для 72 и 54. Наибольший элемент множества равен 18. Это – наибольший общий делитель чисел 54 и 72. Множество делителей числа 72 конечно. А множество кратных этого числа бесконечно:

С = {72, 144, 216, … , 72n, …}.

Бесконечно и множество кратных числа 54:

D = {54, 108, 162, 216, … , 54m, …}.

Пересечением этих множеств является множество общих кратных для чисел 72 и 54:

= {216, 432, …}.

Наименьшее число в , т.е. 216, называется наименьшим общим кратным для 72 и 54.

Иногда приходится пересекать множества геометрических фигур. Например, множество всех квадратов является пересечением множества всех прямоугольников с множеством всех ромбов, т.к. квадрат – это фигура, являющаяся одновременно и прямоугольником, и ромбом. Пересечением множества всех треугольников с множеством всех правильных многоугольников является множество правильных треугольников.