- •1. Аксиоматика 3
- •2. Множества 4
- •3. Аналитическая геометрия 14
- •4. Векторная алгебра 25
- •5. Матрицы и определители 30
- •Аксиоматика
- •Аксиоматический метод построения математики
- •Математический язык
- •Множества
- •Понятие множества
- •Пустое множество
- •Числовые множества
- •Подмножества
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Вычитание множеств
- •Аналитическая геометрия
- •Система координат на плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками на плоскости
- •Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
- •Полярные координаты
- •Угол между прямыми
- •Уравнение окружности
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •У равнение сферы
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора
- •Коллинеарные векторы
- •Операции над векторами
- •Угол между векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Координаты вектора
- •Разложение векторов
- •Действия над векторами, заданным координатами в пространстве
- •Матрицы и определители
- •Матрицы
- •Определители
- •Определители третьего порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения матрицы
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Функции
- •Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Обзор элементарных функций и их графиков
- •Пределы
- •Предел последовательности
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Производная
- •Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Применение производной для исследования функции
- •Неопределенный интеграл
- •Способы интегрирования
- •О пределенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия:
- •Признаки сходимости ряда:
- •Ряды по степени разности
- •Теория вероятностей
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрические вероятности
- •Алгебра событий
- •Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместимых событий
- •Формула полной вероятности
- •Теорема умножения вероятностей независимых событий:
- •Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретных случайных величин
- •Функция распределения случайной величины
- •Нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратичное отклонение (стандартное)
- •Системы двух случайных величин и их числовые характеристики
- •Литература
Аксиоматика
Аксиоматический метод построения математики
Аксиоматика – система аксиом той или иной математической науки.
Аксиоматический метод построения математической теории заключается последовательном применении следующих действий:
перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;
указывается список аксиом – исходный положений применяемых без доказательств, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;
с помощью определений вводятся дальнейшие понятия;
исходя из первоначальных сведений, содержащихся в аксиомах и определениях, доказываются с помощью логических рассуждений дальнейшие факты – теоремы.
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которая состоит в следующем: сколько бы ни выводили теорем из системы аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу.
Многие считают, что аксиомы не доказываются потому, что они очевидны и истинность их подтверждается наглядностью или ответом. Однако заметим, что ответ не является критерием истинности математических предложений. Истинно то, что логически следует из истинного (теоремы), и то, что мы по соглашению первоначально примем за истинное (аксиомы). Система аксиом (постулат) была сформулирована древнегреческим ученым Евклидом (III век до н.э.). Она получила свое развитие в трудах Д. Гильберт (1862 – 1943).
Попытка доказать аксиому Евклида (пятый постулат: через точку, лежащую вне прямой, можно провести в той же плоскости лишь одну прямую, не пересекающуюся с данной) привела к открытию новой, неевклидовой геометрии Лобачевского. Свою геометрию Н.И. Лобачевский назвал воображаемой. Он считал, что сумма внутренних углов треугольника меньше 180°, а разность между 180° и суммой внутренних углов треугольника назвал дефектом треугольника.
Сегодня формулы Лобачевского используются для расчетов современных синхрофазотронов.
Аксиомы есть не только в геометрии, Нои в алгебре, и других математических науках. Например, равенство:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем).
Математический язык
Каждая теорема, выраженная языком математических символов, называется математической формулой. Каждая формула может быть доказана или выведена, а поэтому представляет собой утверждение, сформулированное в виде теоремы. Язык математических символов, который называют математическим языком или математической символикой, характеризуется лаконичностью и выразительностью. В математических предложениях часто используются отношения, соответствующие знакам: и др. Часто применяются различные буквенные знаки: – свойство имеет место для всякого ; – свойство выполняется по крайней мере для одного ; – свойство выполняется для большинства значений ; – есть элемент множества .