13. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

О пределение: эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек и (называемых фокусами) есть величина постоянная, равная .

Чертеж эллипса: выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ox проходила через фокусы и ( ), а начало координат находилось в середине . Фокусы будут иметь координаты и . Пусть – произвольная точка эллипса. По определению эллипса или по формуле расстояний: , , т.е. – это и есть уравнение эллипса.

Канонический (простейший) вид уравнения эллипса:

– каноническое уравнение эллипса.

Заметим, что

1. ;

2. – большая ось эллипса, ;

– малая ось эллипса, ;

– вершины эллипса;

3. Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т.е. . Он характеризует степень сжатия эллипса: чем больше тем больше вытянут эллипс.

4. Величины – параметры эллипса.

14. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

О пределение: гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек и (называемых фокусами) есть величина постоянная, равная . Обозначим через расстояние .

Ч

ертеж: Пусть – произвольная точка гиперболы. Для построения гиперболы надо построить ее основной прямоугольник со сторонами и и центром в начале координат. Тогда по определению гиперболы .

,

, т.е. –уравнение гиперболы.

1. Канонический вид уравнения: .

2. Гипербола симметрична относительно осей координат. Она имеет две ветви. – ее вершины.

3. Если , то гипербола равностороння (равнобочная) и ее уравнение .

4. Прямые – асимптоты гиперболы. У равнобочной гиперболы асимптоты перпендикулярны.

5. Эксцентриситет гиперболы , , т.к. . Гипербола , где – равностороння гипербола, имеющая своими асимптотами оси координат.

6. Параметры гиперболы – и .

15. Парабола. Каноническое уравнение параболы

Определение: параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой l (называется директрисой параболы); предполагается что l не проходит через F.

Чертеж: Начало координат O поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы, а ось Ox проведем через фокус F, .

– параметр параболы. Фокус .

1. По определению параболы или ; .

2. – каноническое уравнение параболы, имеющее смысл только при .

3. O – вершина параболы. Парабола не имеет асимптот. Ось Ox – ось симметрии.

16. У равнение сферы

Определение: сферой называется геометрическое множество точек трехмерного пространства, находящихся на данном расстоянии (радиус сферы) от данной точки (центра сферы).

Если центр сферы находится в точке , а радиус , то ее уравнение .