- •1. Аксиоматика 3
- •2. Множества 4
- •3. Аналитическая геометрия 14
- •4. Векторная алгебра 25
- •5. Матрицы и определители 30
- •Аксиоматика
- •Аксиоматический метод построения математики
- •Математический язык
- •Множества
- •Понятие множества
- •Пустое множество
- •Числовые множества
- •Подмножества
- •Пересечение множеств
- •Объединение множеств
- •Вычитание множеств
- •Аналитическая геометрия
- •Система координат на плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками на плоскости
- •Уравнение линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и
- •Полярные координаты
- •Угол между прямыми
- •Уравнение окружности
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
- •Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
- •Парабола. Каноническое уравнение параболы
- •У равнение сферы
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора
- •Коллинеарные векторы
- •Операции над векторами
- •Угол между векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Координаты вектора
- •Разложение векторов
- •Действия над векторами, заданным координатами в пространстве
- •Матрицы и определители
- •Матрицы
- •Определители
- •Определители третьего порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения матрицы
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Формулы Крамера
- •Матричный способ решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Функции
- •Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Обзор элементарных функций и их графиков
- •Пределы
- •Предел последовательности
- •Предел функции
- •Непрерывность функции
- •Производная
- •Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Применение производной для исследования функции
- •Неопределенный интеграл
- •Способы интегрирования
- •О пределенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия:
- •Признаки сходимости ряда:
- •Ряды по степени разности
- •Теория вероятностей
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрические вероятности
- •Алгебра событий
- •Теорема сложения вероятностей двух несовместимых событий
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей совместимых событий
- •Формула полной вероятности
- •Теорема умножения вероятностей независимых событий:
- •Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретных случайных величин
- •Функция распределения случайной величины
- •Нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания (мо) дискретной случайной величины:
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратичное отклонение (стандартное)
- •Системы двух случайных величин и их числовые характеристики
- •Литература
Дифференциальные уравнения
Определение: дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решение уравнения, содержащее произвольную постоянную величину, имеет вид .
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: или . Например: ; .
Порядком (рангом) дифференциального уравнения является порядок старшей производной входящей в него. Общий вид дифференциального уравнения -го порядка следующий: .
Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , существенно зависящая от произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.
Уравнение вида , где и – постоянные действительные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид функции . Дифференцируя ее, имеем , . Уравнение, получаемое при подстановке в условие значений и , имеет вид – называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.
Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение, которое имеет вид: . Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной С, называется частным решением: если при , , то такие условия называются начальными.
Простейшие классы дифференциальных уравнения:
, тогда если данный интеграл берется, то уравнение интегрируется в элементарных функциях.
Уравнение вида (правая часть не содержит х). Т.к. , то , . Интегрируя обе части имеем: или (могут быть потеряны корни ).
Уравнение с разделенными переменными, т.е. уравнение вида: , или
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: или . Его можно записать виде: .
Ряды
Основные понятия:
Определение 1. Математическое выражение называется числовым рядом, или просто рядом, а числа называются членами ряда. Применяется и запись: .
Ряд считается заданным, если известен общий член .
Сумма конечного числа членов ряда , , и т.д. называются частными суммами (отрезками) ряда.
Рассмотрим последовательность .
Определение 2. Если существует предел , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда.
Если эта последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся.
Расходящийся ряд суммы не имеет.
Признаки сходимости ряда:
Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е. (это необходимый признак сходимости ряда).
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится при .
Признак Даламбера: если для положительного ряда существует , то при ряд сходится, а при – расходится.
Числовые ряды бывают знакопостоянные и знакопеременные: если все члены ряда только положительные, то это знакоположительный ряд; если все члены – отрицательные, то это знакоотрицательный ряд; если не все члены имеют одинаковые знаки, то это знакопеременный ряд.
Ряд, членами которых являются функции , называются функциональными. Пример: .
Если в функциональном ряде придать значение , то ряд будет числовым.
Степенными рядами называются функциональные ряды вида , где – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Пример:
. Этот ряд сходится лишь при . При всех этот ряд расходится. Такой ряд относится к рядам первого класса.
Есть степенные ряды, которые сходятся на всей числовой оси. Такие ряды относятся к рядам второго класса. Например, ряд сходится на всей числовой оси:
Ряды, которые не принадлежат к рядам первого и второго классов, относятся к рядам третьего класса.
Например ряд ; есть ряд третьего класса, т.к. .
Определение: такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при называется радиусом сходимости. Для рядов первого класса ; для ряда второго класса .
Если для ряда существует и отличен от нуля предел , то . В примере, рассмотренном выше, , а областью сходимости .