9. Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Вычисление вероятности суммы независимых событий: где . Если независимые события имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается функцией , где .

10. Дискретные случайные величины

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются прописными буквами , а их возможные значения – соответственно строчными .

Определение 2. Дискретной случайной величиной называется величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности.

Определение 3. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принимать все значения от некоторого промежутка.

Определение 4. Под суммой (произведением) случайных величин понимают случайную величину возможные значения которой состоят из суммы (произведения) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y.

11. Закон распределения дискретных случайных величин

Величина Х считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которым величина Х может принимать эти значения. Указанный перечень всех ее возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Он может иметь вид таблицы:

				…
				…

Таблица читается следующим образом: случайная величина может принимать значения с вероятность .

Т.к. принимает всегда одно из значений, то .

Пример: в лотерее разыгрывается 10000 билетов. Выигрышными являются 1 билет в 1000 рублей, 10 выигрышей по 100 рублей, и 100 выигрышей по 1 рубль. Найти закон распределения случайного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

	0	1	100	1000
	0,9889	0,01	0,001	0,0001

12. Функция распределения случайной величины

Функцией распределения (интегральной функцией) случайной величины называется функция действительной переменной , определяемая равенством: , где – вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее . Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности значений ее функции распределения в концах этого промежутка .

Свойства функции распределения:

1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. . Это следует из определения функции распределения и свойств вероятности.

2. Функция распределения является неубывающей, т.е. если , то .

3. Функция в точке непрерывна слева, т.е. при любом .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю: .

5. Если возможные значение случайной величины принадлежат интервалу то:

   1. при ;

   2. при .

Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: ; .

Г рафик функции распределения целиком расположен в полосе между прямыми и .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией распределения) называется функция , равная производной интегральной функции распределения: . График функции называется кривой распределения.

Вероятностью попадании непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от до : .

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины , принимающей все свои значения на отрезке , называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

О тсюда . Но . Значит , откуда .

График функции имеет вид:

Определим интегральную функцию распределения : если , то и, следовательно . Если , то и . Если , то и .

Г рафик функции имеет вид: