
- •Кафедра информатики и прикладной математики математика
- •Часть 2
- •Теория вероятностей и элементы математической статистики учебно - методический комплекс
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Раздел 2. Случайные величины ( 60 часов)
- •Раздел 3. Элементы математической статистики (40 часов)
- •2.2. Тематический план занятий Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события Раздел 3 Элементы математической Статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.4. Временной график изучения дисциплины
- •2.5. Практический блок Практические занятия (очно-заочная форма обучения)
- •Практические занятия (заочная формы обучения)
- •Практические занятия (очная форма обучения)
- •Лабораторные работы (очно-заочная форма обучения)
- •Лабораторные работы (очная форма обучения)
- •Лабораторные работы (заочная форма обучения)
- •2.6. Бально-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий.
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •Вероятность произведения событий
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •2.1.2. Дискретные случайные величины
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •3.1. Основные определения
- •Систематизация выборки
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные- оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Выполнение лабораторных работ в ms Excel
- •Лабораторная работа 1 статистическое оценивание параметров распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 проверка гипотезы о законе распределения. Критерий пирсона
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Методические указания к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины Репетиционные вопросы Тест № 1
- •Вопрос 10
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Тест № 2
- •Вопрос 1
- •Вопрос 7
- •Вопросы для экзамена по курсу «Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Глоссарий
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 42
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... 65
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
Интервальная
оценка математического ожидания при
известной дисперсии. Построим
доверительный интервал для математического
ожидания наблюдаемой случайной величины
при известной дисперсии
по выборке
.
Образуем
вспомогательную случайную величину
,
где
- точечная оценка математического
ожидания
.
Согласно утверждению 1 теоремы Фишера,
случайная величина
имеет нормальное распределение
и ее функция распределения
не зависит от неизвестного параметра.
Доверительный интервал, соответствующий надежности β, определяется из условия (3.20), которое в нашем случае имеет вид
.
(3.31)
Неравенства
и
являются равносильными, то есть для
любой выборки
они выполняются или не выполняются
одновременно, поэтому соотношение
(3.31) можно записать в виде
.
(3.32)
Поскольку случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, вероятность в левой части формулы (3.32) можно выразить через нормальную стандартную функцию распределения по формуле (3.7):
.
(3.33)
Приравняв правую
часть формулы (3.33) заданной доверительной
вероятности β, получим уравнение
.
Решение этого уравнения
является квантилью порядка
стандартного нормального распределения
и определяется по таблице значений
стандартной нормальной функции
распределения (см. табл. В Приложения).
Предельная ошибка
вычисляется по формуле
.
Таким образом, доверительным интервалом
математического ожидания, соответствующим
надежности β, является интервал
.
(3.34)
Интервальная
оценка математического ожидания при
неизвестной дисперсии. По выборке
из нормального распределения
требуется построить доверительный
интервал для неизвестного математического
ожидания
при неизвестной дисперсии D=σ2.
Введем новую
случайную величину
,
где
- несмещенная выборочная дисперсия.
Статистика
согласно утверждению 3 теоремы Фишера
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы. Рассуждая аналогично
случаю, когда дисперсия известна, получим
следующий доверительный интервал для
математического ожидания:
,
(3.35)
где
- квантиль порядка
распределения Стьюдента. В отличие от
доверительного интервала (3.34) длина
интервала (3.35) случайна и зависит от
случайной величины
.
Поскольку с увеличением числа степеней
свободы распределение Стьюдента быстро
приближается к нормальному, то для
больших выборок
интервалы (3.34) и (3.35) практически совпадают.
Пример
3.2.
По результатам 9 измерений напряжения
батареи получено среднее арифметическое
значение
30,6В.
Точность вольтметра характеризуется
средним квадратическим отклонением
0,2В. Требуется найти доверительный
интервал для истинного значения
напряжения батареи, соответствующий
доверительной вероятности β=0,95,
предполагая, что контролируемый признак
имеет нормальный закон распределения.
Решение.
Для нахождения доверительного
интервала воспользуемся формулой
(3.34). Квантиль порядка
0,975
найдем по таблице А Приложения:
.
Поскольку
предельная ошибка
,
то доверительный интервал имеет вид
.